小结教学设计(第一课时)

必修五第三章《不等式》章末归纳总结

一

教学目标：

1，整合知识结构，进一步巩固，深化所学知识

2，熟练利用不等式的性质比较大小，变形不等式，证明不等式

3，体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用

4，熟练运用图解法解决线性规划问题

5，会用基本不等式求解函数最值

二

教学重点与难点：

重点：

“三个二次”的联系及用基本不等式求解函数最值

难点：数形结合思想解决线性规划问题以及灵活运用基本不等式解决问题

三

教学过程设计：

（一）知识结构

（二）知识要点归纳

1 不等式的基本性质

不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据，因此要熟练掌握和运用不等式的八条性质。

2 一元二次不等式的求解方法

（1）图象法：由一元二次方程，一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集。

（2）代数法：将所给的不等式化为一般式后借助因式分解或者配方求解。

3 二元一次不等式（组）表示的平面区域

（1）

二元一次不等式（组）的几何意义：二元一次不等式（组）表示的平面区域

（2）

二元一次不等式表示的平面区域的判定

4.求目标函数最优解的两种方法

（1）平移直线法：平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等

（2）代入检验法：通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解。

5 运用基本不等式求最值，把握三个条件

（1）“一正”：各项为正数

（2）“二定”：“和”或“积”为定值

（3）“三相等”：等号一定能取到

（三）

专题突破

专题一

不等关系与不等式的性质

例1 已知a，b为正实数，试比较

[方法规律总结]

作差法是比较两式大小最常用的方法，作商法是必要的补充，无论是作差还是作商，都要进行合理地变形，以利于比较．

例2 若a>b>0,c

) (A)错误！未找到引用源。>错误！未找到引用源。

未找到引用源。

(B)错误！未找到引用源。<错误！ab＋与a＋b的大小．

bab(C)错误！未找到引用源。>错误！未找到引用源。d

(D)错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。

专题二

一元二次不等式的应用

对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：（1）相应的二次函数图象及与x轴的交点，（2）相应的一元二次方程的实根。反之，对于二次函数（二次方程）的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根（相应的二次函数的图象及x轴的交点）

例3 （已知解集求参数）

12若关于x的不等式



x



2

x



mx

的解集为{x|0

2

例4 （分类讨论思想在解含参数不等式中的应用）

解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.

[方法规律总结]

解含参数的不等式,一般分类标准有: (1)按二次项系数等于0与不等于0分类; (2)二次项系数不为零时,按判别式Δ进行分类; (3)当Δ>0时,按根的大小进行分类.

例5 （不等式的恒成立问题）

关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，求实数a的取值范围．

（分析：对于一切实数恒成立，理解为解集为R）

（在区间内恒成立问题的通用解法：转化为最值问题求解）

[方法规律总结]不等式的恒成立求参数范围问题常见解法：

（1）变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元

（2）分离参数法：若f(a)g(x)恒成立，则若f(a)>g(x)max (3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化

题型三

数形结合思想在线性规划中的应用

关注“线性规划”问题的各种“变式”：诸如求面积，距离，参数取值的问题经常出现。

x＋y－3≥0，6

已知实数x，y满足x－y＋1≥0，x≤2，

(1)若z＝2x＋y，求z的最大值和最小值；

(2)若z＝2x-y，求z的最大值和最小值；

例7 （2014汕头文数一模）

某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少？

[解应用题的步骤：] 1、设

2、列：列线性约束条件（即x、y满足的不等式组）

目标函数（要求最值的式子）

3、画：画可行域、需要平移的目标直线，找出最优的

（画两条：一条是过原点的，一条是平移的最终位置,都用虚线）

4、解：联立方程，求交点（最优点）的坐标

5、求：将交点坐标代入式子，算出最值

6、答

题型四

基本不等式

利用基本不等式求最值要满足“一正二定三相等”，缺一不可，可以通过拼凑，换元等手段进行变形，如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解。

例8 （积定和最小，和定积最大）

3（1）已知x0,y0且xy,求2x3y的最小值2（2）已知x0,y0且2x3y6,求xy的最大值

变式题型：

已知x0,y0,xy1,求1、11的最小值xy（技巧：相乘构造乘积)

x2、若x>0,求

y



2

的最大值

（构造：互为倒数，乘积为定值）

xx1

例9 基本不等式的应用题（一般跟面积长度等相关）

某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12㎡，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶造价为5800元，如果墙高3m,且不计房屋背面和地面的费用，问如何设计才能使总造价最低，并求出最低总造价。

五、课堂小结：

1、不等关系与不等式的性质

2、一元二次不等式的应用

3、数形结合思想在线性规划中的应用

4、基本不等式求最值

六、课后作业：

随堂练习《导与练》