2.3.1 圆的标准方程教学设计模板

§2.3.1 圆的标准方程

【重点】在给定条件下求圆的标准方程的一般思维方法。

【难点】用数形结合法求圆的标准方程

一．学习目标

1. 掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；

2. 会用待定系数法求圆的标准方程.

二．课前准备

1.生活中的圆？

2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

三．新课导学

新知：圆心为

A(a,b ) ，半径为

r 的圆的方程(xa)2+(yb)2=r2

叫做圆的标准方程.

特殊：若圆心为坐标原点，这时a = b = 0 ，则圆的方程就是x2y2r2

探究：确定圆的标准方程的基本要素？

四．合作、探究、展示

例1 写出圆心为

A( 2,-3 ) ，半径长为 5 的圆的方程，并判断点M1

(5,-7),M2(-5,-1 ) 是否在这个圆上. 解：圆心是A（2，-3），半径长等于5的圆的标准方程是(x2)2(y3)225。

把点M1(5,7)的坐标代入方程(x2)(y3)25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆22的方程，所以点M1在这个圆上；把点M（的坐标代入方程(x2)(y3)25，5，1）222左右两边不相等，点M2的的坐标不适合圆的方程，所以点M2不在这个圆上。

1

小结：点

M(x0,y0)

与圆(xa)2(yb)2r2

的关系的判断方法：

⑴(x0a)2y0br2，点在圆外；

⑵(x0a)2y0b

r2,点在圆内；

⑶(x0a)2y0br2，点在圆上；

例2 ABC

的三个顶点的坐标是

A(5,1),B (7,- 3)C (2,-8 ) ，求它的外接圆的方程。

解设所求圆的方程是（xa)2（y-b)2r2

①

因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程

①，

于是

222(5a)2(1b)2r2 ②

(7a)2(3b)2r2 ③

(2a)2(8b)2r2 ④

②-③得： a62b2 ⑤

②- ④得：2a7(3)(2b7)

⑥

联立⑤⑥得 a2,b3,r5

所以△ABC的外接圆的方程是(x2)2(y3)225

。

例3 已知圆C 经过点

A( 1,1) 和

B (2,-2 ) ,且圆心在直线

l: x - y +1= 0 上,求此圆的标准方程。

2

分析一：因为A,B是圆上的两点，所以圆心在AB的垂直平分线上，又圆心在已知直线上l上，故圆心是两直线的交点。

31解法一： 因为A(1,1)，B(2,-2).所以线段AB的中点D的坐标为(,)，直线AB的2221斜率x3y30kAB=-3.因此线段AB的垂直平分线l'的方程是21113y(x)

232即 x3y30

x-3y-3=0 x=-3 圆心C的坐标是方程组 的解。解此方程组得

x-y+1=0 y=-2

所以圆心C的坐标是（-3，-2）。圆心为C的圆半径r|AC|(13)2(12)25

所以圆心为C的圆的标准方程是(x3)2(y2)225。

分析二：

确定一个圆需且只需三个条件，可用待定系数法求解。

解法二：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，由题意列方程组

(1a)2(1b)2r2 a=-3 (2a)2(2b)2r2 解得 b=-2 ab10 r=5

代入可得圆的方程为(x3)2(y2)225。

分析三：因为圆心C在直线xy10上，可设C的坐标为（a，a+1），又A,B在圆上，故|AC|=|BC|=r，可求出a=-3，即C(-3，-2).所以r5即得圆的方程.

反思：

1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于

a,b, r 的方程组，求

a,b, r

3

或直接求出圆心(a,b ) 和半径r . 2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2；（2）根据已知条件，建立关于

a,b, r 的方程组；（3）解方程组，求出

a,b, r 的值，并代入所设的方程，得到圆的方程.

此外，还可以利用几何性质直接求出圆心坐标和圆的半径，经常体现为待定系数法和数形结合法。

五．课堂练习

练习1 说出下列圆的方程的圆心和半径. （1）(x2)2(y3)25 （2）(xm)2(yn)2a2

练习2 根据以下条件，求圆的标准方程

（1）圆心在C（-3，4），半径长是5。

（2）圆心在点C（8，-3），并且过点A（5，1）. （3）圆心在点C（1，3），并与直线3x4y60相切.

练习3 已知△AOB的顶点坐标分别是A（4，0），B（0，3），O（0，0），求△AOB外接圆的方程.

六、总结提升

一．方法规纳

⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径. ⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系. 二．圆的标准方程的两种求法：

⑴根据题设条件，列出关于a、

b、

r 的方程组，解方程组得到a、

b、

r 得值，写出圆的标准方程. ⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 七．作业布置

1.导学案课后作业；

2.预习《圆的一般方程》

思考：（1）圆的一般方程的特点？

（2）圆的标准方程与一般方程的区别？

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