二 一般形式的柯西不等式第二课时教学设计

一般形式的柯西不等式

一、教材分析：柯西不等式是人教A版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础。本节课的核心内容是柯西不等式一般形式的推导及其简单应用。 二、教学目标： 1、知识与技能：.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义； 2、过程与方法：通过柯西不等式与其它基本不等式的关系，感悟柯西不等式的美; 3、情感、态度与价值观：在运用柯西不等式分析、解决问题的过程中，体会柯西不等式的应用方法.

三、教学重点：柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法．

四、教学难点：在具体问题中怎样使用柯西不等式．

五、教学准备

1、课时安排：1课时 2、学情分析：学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处. 3、教具选择：多媒体

实物展台 六、教学方法：启发引导、讲练结合法 七、教学过程

1、自主导学：一、创设问题情境，检查课后学习情况：

问题1：你知道二维形式的柯西不等式吗？有几种形式？

定理1：（二维柯西不等式）设a,b,c,d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，

等号当且仅当adbc时成立．

定理2：（向量形式）设，为平面上的两个向量，则≥，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立．

定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2 问题2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？

1

（１）a2b2≥2ab

（２）a2b2≥(ab)2 2 解析： (1)∵(a2b2)(a2b2)≥(abab)2(2ab)2,∴(a2b2)2≥(2ab)2

∴a2b2≥2ab≥2ab, ∴a2b2≥2ab 1 (2) ∵(a2b2)(1212)≥(a1b1)2(ab)2,∴a2b2≥(ab)2 2

问题3:已知a,bR,且ab1 ,你能求出11的最小值吗？

ab1111112解析：ab1, ∴(ab)()≥(ab)4

ababab

即ab111时，取得最小值4. ab2

二、类比猜想，进行新课

问题4:类比二维空间的柯西不等式，你能提出三维柯西不等式吗？会证明吗？

猜想：设xi,xiR(i1,2,3)，则(x12x22x32)(y12y22y32)≥(x1y1x2y2x3y3)2

解疑：令(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),由于空间向量中≥也成立 .所以

(x12x22x32)(y12y22y32)≥x1y1x2y2x3y3, ∴(x12x22x32)(y12y22y32)≥(x1y1x2y2x3y3)2, 其中等号当且仅当,共线时等号成立；即0,或存在一个实数k,使得

aikbi(i1,2,3)时，等号成立.

2、合作探究

（1）分组探究：问题5：你会用柯西不等式证明下面的不等式吗？等号成立的条件呢？

ab1≥ab(a,bR) （2）

a2b2c2≥(abc)2

（1）23 (3) a2b2c2≥abbcca

解析： (1)a0,b0,(ab)(ab)(abab)2(2ab)2,

∴(ab)2≥(2ab)2, ∴ab≥2ab ,即ab≥ab. 2 (2) (a2b2c2)(121212)(a1b1c1)2(abc)2, 1a2b2c2(abc)2 3 (3) (a2b2c2)(b2c2a2)(abbcca)2

∴(a2b2c2)2(abbcca)2,∴a2b2c2abbccaabbcca

111问题6:已知a,b,cR,且abc1 ,你能求出的最小值吗？

abc解析：abc1,

111111111∴(abc)()≥(abc)29

abcabcabc1111

即abc时，取得最小值9. 3abc问题7:类比二维、三维空间的柯西不等式，猜一猜n维空间的柯西不等式，即一般式．

（2）教师点拨：

定理4：（一般形式的柯西不等式）：

设n为大于1的自然数，xi,yiR(i1,2,3,,n),则：

(x12x22xn2)(y12y22yn2)(x1y1x2y2,ynkxn时成立. xnyn)2,其中等号当且仅当

存在实数k,使得y1kx1,y2kx2,证明：构造二次函数：f(x)(x1xy1)2(x2xy2)2

f(x)21(xnxyn)2,则

n(x22xn2x)2x2y21(1x2xny2)xy(1x2

)2y是二次nyy函数,因为对任意的实数xi,yi(i1,2,3, ∴△4(xiyi)4(xi)(yi2)0，

22i1i1i1nnn,n),都有f(x)≥0成立，∴△≤0 ∴(x12x22xn2)(y12y22yn2)(x1y1x2y2xnyn)2

,ynkxn时成立. 其中等号当且仅当存在实数k,使得y1kx1,y2kx2,即当且仅当y1y2x1x2yn时成立（当x0时，约定y0，i1，2，…，n）. iixn如果xi（1in）全为0，结论显然成立.

3、巩固训练：应用举例，深化理解：

例1：已知a1,a21an2≥(a1a2nanR,求证：a12a22an2)(1212an2)n(a1a21an2≥(a1a2nan)2

证明：∵(a12a22 ∴(a12a22 ∴a12a2212)(a11a21an)2

an)2

an1)2, 例2：已知a,b,c,d是不全相等的实数，证明：a2b2c2d2≥abbccdda. 证明：(a2b2c2d2)(b2c2d2a2)(abbccdda)2

∴(a2b2c2d2)2(abbccdda)2

∴a2b2c2d2abbccdda≥abbccdda

例3：已知x2y3z1,求x2y2z2的最小值. 解：∵x2y3z1,∴(x2y2z2)(122232)≥(x2y3z)21

∴x2y2z2≥4、拓展延伸： （1）.已知x,y,zR，且xyz1，求149的最小值. xyz11123,即当x,y,z时取得最小值. 1414141414(2).已知abcd1，求a2b2c2d2的最小值.

5、师生合作总结：

（1）柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明. （2）设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1,2,…,n）时，等号成立. （3）一般形式的柯西不等式的应用. 对于许多不等式问题，应用柯西不等式往往简明。掌握柯西不等式的结构特点，灵活应用.

八、课外作业：

P41习题3.2 2，3，4，5 九、板书设计：

一般形式的柯西不等式

定理1：（柯西不等式的代数形式）

例：

变形：1.

法1：

2.

法2：

3.

定理2：（柯西不等式的向量形式）

十、教学反思：（注：教学实施后写）

过上完本节课我的体会和反思是：

本节课重点在于让学生学会不等式中对于等号成立的应用，应多加强学生理解用a与b共线坐标满足的条件，即

x1.x2x3

y1y2y3