二 综合法与分析法多媒体教案及点评

§2.2.1 综合法和分析法教学设计

一、教学目标：

（一）知识与技能：

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合

法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

（二）过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；

（三）情感、态度与价值观：

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点：

了解分析法和综合法的思考过程、特点

三、教学难点：

分析法和综合法的思考过程、特点

四、教学过程:

（一）导入新课：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

（二）推进新课：

1. 综合法

在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如：

已知a,b>0,求证a(bc)b(ca)4abc

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义

证明:因为bc2bc,a0，

222222

所以a(b2c2)2abc。

因为c2a22ac,b0，

所以b(c2a2)2abc。

因此

a(b2c2)b(c2a2)4abc。

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。

用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：

PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

例1.已知a,b,c是不全相等的正数bcacababc求证：3abc

(综合法) ∵a，b，c R，

bacacb∴a与b，a与c，b与c均为正实数且不能同时相等，

bacacb

由重要不等式得：a＋b>=2，a＋c>=2，b＋c>=2，

bccaab三式相加得a＋a＋b＋b＋c＋c>6，

bccaab∴(a＋a－1)＋(b＋b－1)＋(c＋c－1)>3，

b＋c－aa＋c－ba＋b－c即a＋b＋c>3.

注：证明过程中我们要善于观察变形，合理利用已知条件、定理、公式，把文字语言转化为符号语言，由因导果！

2. 分析法

证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，……

直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定

理、定义、公理等）为止。

例如：我们回顾基本不等式 要证

abab

（a>0，b>0）的证明就用了上述方法。

2abab，

2只需证

ab2ab，

只需证

ab2ab0，

只需证

(ab)20

由于(ab)20显然成立，因此原不等式成立。

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。

分析法可表示为：

QP1(P1P2).....(Pn1Pn)PnP

分析法的特点是：执果索因

例2、求证3725。

分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。

证明：因为37和25都是正数，所以为了证明

3725，

只需明 (37)2(25)2，

展开得 1022120，

只需证

215，

因为2125成立，所以

(37)2(25)2 成立。

在本例中，如果我们从“21〈25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。

事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．

（五）课堂练习：

b＋c－aa＋c－ba＋b－c（1）练习：已知a，b，c是互不相等的正实数，求证＋＋>3.（分abc别用综合法与分析法证明）

（2）课堂提升练习：

‘‘‘‘1.已知a0,b0,ab1

11求证：4ab

2.已知a>5,求证a5a3a2a

（3）思考题：如果a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥22(a－b)，

并指明该不等式在何时取“＝”号．

（六）课堂小结：

综合法和分析法的特点。

（七）布置作业：

课本P89页 1、2