1.不等式的基本性质优秀教案案例

2.1不等式的基本性质

问题情境：现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b，高分别为a、b，其中a≠b。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？

分析：依题意可知：A、B、C、D四个容器的容积分别为a、ab、ab、b，甲有6种取法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。

研究比较大小的依据：

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。

在右图中，点A表示实数a，点B表示实数b，点A在点B右边，那么a＞b。

而a－b表示a减去b所得的差，由于a＞b，则差是一个正数，即a－b＞0。

命题：“若a＞b，则a－b＞0”成立；逆命题“若a－b＞0，则a＞b”也正确。

类似地：若a＜b，则a－b＜0；若a＝b，则a－b＝0。逆命题也都正确。

结论：(1)“a＞b”⇔“a－b＞0”

(2)“a＝b”⇔“a－b＝0”

(3)“a＜b”⇔“a－b＜0”

——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。

正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数；(4) 负数乘负数是正数。

研究不等式的性质：

性质1：若a＞b，b＞c，则a＞c (不等式的传递性) 证明：∵a＞b ∴a－b＞0 ∵b＞c ∴b－c＞0 ∴(a－b)＋(b－c)＝a－c＞0 (正负数运算性质) 则a＞c 反思：证明要求步步有据。

性质2：若a＞b，则a＋c＞b＋c (不等式的加法性质) 证明：∵a＞b ∴a－b＞0 ∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0 ∴a＋c＞b＋c 反思：作差比较法的第一次运用，虽然简单，也要让学生好好体会体会。

思考：逆命题“若a＋c＞b＋c，则a＞b”成立吗？——两边加“－c”即可证明。

[例1] 求证：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d (同向不等式相加性质)

证明1：∵a＞b ∴a＋c＞b＋c (性质2) ∵c＞d ∴b＋c＞b＋d 则a＋c＞b＋d

证明2：∵a＞b ∴a－b＞0 ∵c＞d ∴c－d＞0

322322B A x (性质2) (性质1)

∴(a－b)＋(c－d)＞0 即(a＋c)－(b＋d)＞0 (作差比较法) 则a＋c＞b＋d 练习：求证：若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d (异向不等式相减性质)

证明1：∵c＜d ∴c－d＜0 得d－c＞0 即－c＞－d

(正数得相反数为负数) 亦可由c＜d两边同加－(c＋d)，直接推出－c＞－d (性质2) ∵a＞b ∴a＋(－c)＞b＋(－d) (同向不等式相加性质) 则a－c＞b－d

(加减法运算法则) 证明2：∵a＞b ∴a－b＞0 ∵c＜d ∴d－c＞0 ∴(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)＞0 (作差比较法) 则a－c＞b－d 性质3：若a＞b，c＞0，则ac＞bc 若a＞b，c＜0，则ac＜bc (不等式的乘法性质) 证明：ac－bc＝(a－b)c (作差比较法) ∵a＞b ∴a－b＞0 (1)

当c＞0时，(a－b)c＞0，得ac＞bc (正负数运算性质) (2)

当c＜0时，(a－b)c＜0，得ac＜bc (正负数运算性质) 反思：等式两边同乘一个数，等式永远成立。但不等式的情况完全不同！——强调！

思考：(1)“若a＞b，则ac＞bc”成立吗？——不成立！反例：c＝0时不成立。

(2)“若ac＞bc，则a＞b”成立吗？——成立！隐含c＞0。

2、求证：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd (同向不等式相乘性质)

证明：∵a＞b，c＞0 ∴ac＞bc

∵c＞d，b＞0 ∴bc＞bd 则ac＞bd

nn22222(性质3) (性质3) 22

(性质1) 特例：当a＝c且b＝d时，有“若a＞b＞0，则a＞b”

推而广之：若a＞b＞0，则a＞b (n∈N*) (不等式的乘方性质)

推而广之：若a＞b＞0，则n

3、求证：若a＞b＞0，则0＜证明：∵a＞b＞0 ∴∴

[例2]比较(a＋1)与a－a＋1的值的大小。

解：(a＋1)－(a－a＋1)＝3a (1)当a＜0时，(a＋1)＜a－a＋1

222222a＞nb (n∈N*，n＞1) (不等式的开方性质) ——可用反证法进行证明。

11＜ (不等式的倒数性质)

ab11＞0，＞0，a－b＞0 ab1a－b111－＝＞0 (正负数运算性质) 则0＜＜

aababb

(2)当a＝0时，(a＋1)＝a－a＋1 (3)当a＞0时，(a＋1)＞a－a＋1 反思：(1)比较大小时，等与不等一定要分开讨论！——强调！

(2)分类讨论时，要做到“不遗漏，不重复”！——强调！

[例3]解关于x的不等式m(x＋2)＞x＋m。

解：(m－1) x＞－m (1)当m＝1时，x∈R 2222m；

m－1m(3)当m＞1时，x＞－

m－1(2)当m＜1时，x＜－反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m－1值的不确定性

(2) 如何进行讨论？——不等式性质

课堂小结：(1) 数学知识：不等式性质

1：若a＞b，b＞c，则a＞c (不等式的传递性) 2：若a＞b，则a＋c＞b＋c (不等式的加法性质) 3: 若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d (同向不等式相加性质)

4：若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d (异向不等式相减性质) 5：若a＞b，c＞0，则ac＞bc；若a＞b，c＜0，则ac＜bc (不等式的乘法性质) 6：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd (同向不等式相乘性质) 7：若a＞b＞0，则a＞b (n∈N*) (不等式的乘方性质)

8：若a＞b＞0，则nnna＞nb (n∈N*，n＞1) (不等式的开方性质) 11＜ (不等式的倒数性质) ab9：若a＞b＞0，则0＜(2) 数学方法：作差比较法

(3) 数学思想：分类讨论

例题练习：

[例1] 解关于x的不等式：(m－4)x＜m＋2。

解：(1) m－4＝0即m＝－2或m＝2 ①当m＝－2时，x∈

②当m＝2时，x∈R (2) m－4＞0即m＜－2或m＞2时，x＜(3) m－4＜0即－2＜m＜2时，x＞22221

m－21

m－22反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m－4值的不确定性

(2) 如何进行讨论？——不等式性质

[例2] 若m＞0，y＞x＞0，试比较解：x＋mx与的大小。

y＋myx＋mx(x＋m)y－(y＋m)xm(y－x)－＝＝

y＋my(y＋m)y(y＋m)y∵y＞x ∴y－x＞0 ∵y＞0，m＞0 ∴y＋m＞0 又∵y＞0，m＞0 ∴m(y－x)x＋mx＞0 则＞

(y＋m)yy＋myacaa＋cc＜，求证：＜＜

bdbb＋dd

引申：若a、b、c、d均为正数，且证明1：(作差比较法) ∵a＋cabc－ad－＝

b＋db(b＋d)baca＋cabc－ad＜，b＞0，d＞0 ∴bc＞ad 得＞0 则＞

bdb＋db(b＋d)b同理可证：a＋cc＜

b＋ddaa＋c＜

 a(b＋d)＜b(a＋c) bb＋d证明2：(变更论证法) ∵b＞0，b＋d＞0 ∴a(b＋d)－b(a＋c)＝ad－bc ∵则ac＜，b＞0，d＞0 ∴ad＜bc 得a(b＋d)＜b(a＋c) bdaa＋ca＋cc＜ 同理可证：＜

bb＋db＋dd[例3] 若x＞0，试比较x＋x＋3与x＋1＋x＋2的大小。

分析：直接作差显然不可取。可考虑去根号，利用不等式的乘方、开方性质。

解：(x＋x＋3)＝2x＋3＋2x2＋3x，(x＋1＋x＋2)＝2x＋3＋2x2＋3x＋1

22∵x2＋3x＜x2＋3x＋1 ∴2x＋3＋2x2＋3x＜2x＋3＋2x2＋3x＋1

得(x＋x＋3)＜(x＋1＋x＋2)

则x＋x＋3＜x＋1＋x＋2

反思：“分析法”是寻找解题思路的常用方法。

[例4] 甲、乙两人连续两天去市场买青菜。甲每次买青菜的数量不变，乙每次买青菜的费用不变。问甲、乙两人谁购买的方法比较合算？

分析：何为合算？——平均单价便宜。

解：设第一天青菜单价a元/斤，第一天青菜单价b元/斤。

设甲每次买青菜x斤，乙每次买青菜花费y元，

22

∴甲平均单价为ax＋bxa＋b2y＝2ab

＝，乙平均单价为2x2yya＋b＋aba＋b2ab(a－b)2∵－＝

2a＋b2(a＋b)∴(1) a＝b时，a＋b2aba＋b2ab＝；(2) a≠b时，＞

2a＋b2a＋b2由(1)(2)可知：乙购买的方法比较合算。

[例5] 现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b，高分别为a、b，其中a≠b。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？

分析：依题意可知：A、B、C、D四个容器的容积分别为a、ab、ab、b，甲有6种取法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。

解：(1)取A、B：(a＋ab)－(ab＋b)＝(a＋b)(a－b) 无法确定大小

(2)取A、C：(a＋ab)－(ab＋b)＝(a＋b) (a－b) 无法确定大小

(3)取A、D：(a＋b)－(ab＋ab)＝(a＋b) (a－b)

由于a≠b，则(a＋b) (a－b)＞0，即a＋b＞ab＋ab ——

先取A、D则必胜！

能否推广？——

观察a＋b＞ab＋ab的特征，进行猜测。

a＋b＞ab＋ab，a＋b＞ab＋ab

a＋b＞ab＋ab，a＋b＞ab＋ab

……

更为一般性的结论：a、b∈R，m、n∈N*，则a证明：(a

课堂小结：(1) 数学知识：8条不等式性质

(2) 数学方法：作差比较法、分析法、变更论证

(3) 数学思想：分类讨论、类比猜想证明

m＋n m+n55445523324433442222332223322332223223223223232232＋b≥ab＋ab

m+nmnnm＋b m＋n)－(ab＋ab)＝(a－b)(a－b)≥0mnnmmmnn