复习参考题教学实录

理数二轮复习—概率统计

一．考纲要求

熟练掌握统计图表（茎叶图、频率分布直方图、频率折线图等），会画图，能从图表中提取信息；

能从样本数据的数字特征（平均数、标准差等）估计总体的数字特征；

2.通过散点图能判断两变量是否有先行相关关系，会根据所给公式建立方程；

3.掌握几种概型的求法、二项分布、超几何分布的概率分布列，能通过样本估计总体，对数据进行分析处理。

二、高考解读：

考题一般以实际问题为背景，常与统计与概率的综合题出现，中等难度，位置以18,19为主，。

三、高考双向细目表：

序号

题型

考点

能力层级

了解

理解

1 解答题

二项分布、超几何分布、期望、方差

2 解答题

独立性检验、条件概率、超几何分布

3 解答题

独立重复事件的概率、回归方程问题

数据的分析处掌握

二项分布、超几综合

12 分值

理（期望方差）

何分布

独立性检验的思想和方法

最小二乘法求回归直线方程

条件概率的求法、超几何分布

独立重复事件的概率求法

12

12 四、考点一：离散型随机变量的分布列问题

1.在2016年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选2题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为3，且每题正确回答与否互不影响．

(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望；

(2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．

答案详解

(1)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为,则的可能取值为, ；

；

, 考生甲正确完成题数的分布列为

1 2 3

. 又,其分布列为；

. (2), .

．

从回答对题数的数学期望考查,两人水平相当,从回答对题数的方差考查,甲较稳定,从至少完成2题的概率考查,甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验通过能力较强．

解析: 本题考查概率的计算和分布列的求法、数学期望和方差,意在考查考生的分析理解能力.(1)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为当,由

考法微练1：高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调,求得其相应的概率,可得分布列和数学期望.(2)由,则两人水平相得甲的实验通过能力较强．

查学生对物理、化学、生物的选考情况，“将A市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体B，从学生群体B中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计表如下：

选考物理、化学、生物的科目数

人数

（Ⅰ）从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；

（Ⅱ）从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目

数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）将频率视为概率，现从学生群体B中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“

答案

解:(Ⅰ)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A, 则, ”的概率．

1 5 2 25 3 20 所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为 ;(3分) (Ⅱ)由题意可知X的可能取值分别为0,1,2; 则., , ;从而X的分布列为:

(6分) 数学期望为;(8分) (Ⅲ)所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名,

相应的频率为, 由题意知,所以事件“;”的概率为 (10分) (12分) 解析

(Ⅰ)计算“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A,利用对立事件的概率公式计算选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率值; (Ⅱ)由题意知X的可能取值,计算对应的概率值,写出X的分布列,计算数学期望值; (Ⅲ)计算所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生人数,求出相应的频率,根据n次独立重复实验恰有k次发生的概率,求出对应的概率值.

易错点：随机变量的取值；对应取值的概率计算

小结：1.求随机变量X的均值与方差时，可首先分析是否服从二项分布，如果X~B(n,p)，则用公式E(X)np,D(X)np(1P)求解，可减少计算量

2.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据。一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定。

4.读题时关注题中是否直接告诉“概率是”，或者“以样本频率作为总体概率”等字眼，此种情况用概率做题，留意是否是独立重复试验。

考点二：统计图表与概率分布列综合问题

2.在一次数学测验后，班级学习委员王明对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人）

男同学

女同学

合计

在统计结果中，如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类，把《不等式选讲》称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表：（单位：人）

男同学

女同学

几何类

16 8 代数类

6 12 合计

22 20 几何证明选讲

12 0 12 坐标系与参数方程

4 8 12 不等式选讲

6 12 18 合计

22 20 42

合计

24 18 42 据此判断是否有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关？

（2）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈.已知学习委员王明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中. ①求在学习委员王明被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；

②记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列和数学期望. n(adbc)2,nabcd(ab)(cd)(ac)(bd)附：. 2

解:(1)由题所以,据此统计有. 的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关.

分

(2)由题可以知道在“不等式选讲”的18位同学中,要选取3位同学.①令事件A为“这名学委被抽取到”;事件B为“两名数学科代表被抽到”,

则,. 所以

②由题X的可能值有0,1,2.依题;;

从而X的分布列为: X 0 1 2 P

于是

解析: (1)根据所给的列联表得到求观测值所用的数据,把数据代入观测值公式中,做出观测值,同所给的临界值表进行比较,得到所求的值所处的位置,得到百分数. (2)①令事件A为“这名学委被抽取到”;事件B为“两名数学科代表被抽到”,利用条件概率求得两名数学科代表也被选中的概率, ②记抽取到数学科代表的人数为X,由题X的可能值有0,1,2.依次求出相应的概率求分布列,再求期望即可. 本题考查离散型随机变量及其分布列、独立性检验的应用,考查根据列联表做出观测值,根据所给的临界值表进行比较,本题是一个基础题.

小结：1对立性检验的步骤：（1）假设两个分类变量无关；（2）做出22的列联表;(3)求出K的观测2k值n(adbc)(ab)(ac)(bd)(cd)；

2kkK2..注意随机变量的观测值与相应的概率对应表的关系，的值越大，相应的概率的值就越小，是指“两个变量相关”这句判断犯错误的概率越小。

考法微练2：天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关. （Ⅰ）天气预报说，在今后的四天中，每一天降雨的概率均为40%，求四天中至少有两天降雨的概率；

（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小x（单位：毫米）与其出售的快餐份数y成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：

降雨量（毫米）

快餐数（份）

试建立y关于x的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）

附注：回归方程ybxa中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

1 50 2 85 3 115 4 140 5 160 ˆˆˆ

i1ˆb

nxixyiy2(xx)ii1nˆˆybx，

a

试题解析：（Ⅰ）四天均不降雨的概率，

四天中恰有一天降雨的概率，

所以四天中至少有两天降雨的概率.

（Ⅱ）由题意可知，，

所以，关于的回归方程为：.

．

将降雨量代入回归方程得：所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份．

小结1.对回归方程要正确使用公式，注意题目对精确度的要求。

2.由得出的回归直线方程作出的预测是近似的，回答问题时一定要有“估计”这个关键字眼，否则会扣分

练习3.为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值。

（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽去一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）：

①P(X)0.6826，

②P(2X2)0.9544

③P(3X3)0.9974。

判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲等；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁。试判断设备（2）将直径小于等于①从设备或直径大于等于的性能等级。

的零件认为是次品。

；

的生产流水线上随机抽取件零件，计算其中次品个数的数学期望。

②从样本中随意抽取件零件，计算其中次品个数的数学期望试题解析：（Ⅰ）四天均不降雨的概率，

四天中恰有一天降雨的概率，

所以四天中至少有两天降雨的概率.

（Ⅱ）由题意可知，，

所以，关于的回归方程为：.

．

将降雨量代入回归方程得：

所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份．

小结：解决正态分布问题关键：（1）找对称轴对称性求指定范围内的概率值；有而求出所求概率。

本专题解题思路：概率统计题实际问题为背景，阅读量较大，所以审题是关键，x；（2）找标准差；（3）找对应分布区间。利用,和分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从例如找关键字眼，提炼数据，决定解决方法。具体操作方法如图示

审题

提炼数据确定方法解决问题

五．高考真题演练

1.(2013全国高考1卷)某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率。

2.（2014全国高考1卷）从某企业生产的某种产品中抽取结果得如图所示的频率分布直方图：

件，测量这些产品的一项质量指标，由测量

（1）求这表）；

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布近似为样本方差；

（i）利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；

（ii）某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这。

件产品中质量指标值位于区间的，其中近似为样本平均数，件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代产品件数，利用（i）的结果，求附：，若Z~N(,2)，则P(X)0.68，P(2X2)0.9544。

3.（2016全国高考3卷）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合（2）建立与的关系，请用相关系数加以说明；

关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

参考数据：，，，．

参考公式：相关系数

回归方程

中，，．

4.（2017全国高考2卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,)．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 210.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

1161162116222(xx)(x16x)0.212xxi9.97siix161616i1i1i1经计算得，，其中i为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2,,16．

ˆ，利用估计值判断是否需对当天用样本平均数x作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值的生产过程进行检查？剔除(3,3)之外的学科网数据，用剩下的数据估计和（精确到ˆˆˆˆˆ0.01）．

2N(,)，则P(3Z3)0.997 4，

Z附：若随机变量服从正态分布0.997 4160.959 2，0.0080.09．