探究与发现 组合数的两个性质教案3

高中数学人教A版选修2-3第一章《探究与发现

组合数的两个性质》教案

1教学目标

(一)知识与技能

1掌握组合数的两个性质,并能运用组合数的性质解决一些实际问题; 2培养学生发现知识、应用知识的能力,培养独立分析问题、解决问题的能力,培养良好思维与学习习惯. (二)过程与方法

根据本节课的内容和学生的实际水平,通过具体的实例观察、分析,归纳总结出组合数的两个性质,培养学生从特殊到一般的重要思想方法. (三)情感、态度与价值观

从具体实例入手,激发学生的学习学习兴趣和学好数学的信心,从而更加热爱数学。鼓励学生通过观察类比提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,提升学生的数学思维品质. 2学情分析

本节课是人教A版高中数学(选修2-3)第一章(计数原理)排列与组合中的“探索与发现”的内容.“组合数的两个性质”是学生学习了排列、组合以及组合数公式等知识的基础上提出来的,与数学的归纳法有内在的联系。通过性质的学习,一方面可以加强组合数公式的计算、变形能力,简化组合数的计算.另一方面也为以后学习“二项式定理”等内容提供了理论基础.故组合数的性质是一个承上启下的内容.本节课具有较高的应用价值和思维训练价值,所以,教学中既要关注组合数性质的结果,也要关注学生对性质的探索发现过程和证明思路的分析过程,努力营造学生自主探究的情境,发挥他们的自主精神,尽力引导学生的发现和创新意识,让他们能再创造的学习. 从学生的认知角度看,学生很容易在应用性质2的公式时出错。虽然公式很简洁,也具有很大的一般性,但是会给学生带来领悟和学习上的困难,所以理解和领悟性质2的本质是这节课的难点.

3重点难点

教学重点:组合数的两个性质及其应用.

教学难点:组合数的两个性质的理解及灵活应用(特别是第二个性质的理解) . 4教学过程

4.1第一学时

4.1.1教学活动

活动1【导入】组合数的两个性质

(一)旧知创境,导入新课

1.组合与组合数

2.组合数公式: 请大家用学过的公式计算一下:①

及

的值;②

。

问题1: 列出①中等式,看有什么发现?你会简化②的计算吗? 问题2: 能否有一个更一般的式子? 【说明】在1,2,3,4四个数中任选3个或1个,问各有多少种选法? 可列出如下选法:1,2,3——4;1,2,4——3;2,3,4——1;3,4,1——2. 可见,选3表和选1表是一一对应的,虽然计数角度不同,但选法数相同. (二)深化探究推进新课

1.组合数的

性质1: . 理解: 一般地,从n个不同元素中取出m个元素后,剩下n - m个元素.因

为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合,与剩下的n - m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数,等于从这n个元素中取出n - m个元素的组合数,即: .在这里,我们主要体现:“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想. 证明:∵

又

∴

注:1°

我们规定

2°

等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标. 3°

此性质作用:当

时,计算

可变为计算 ,能够使运算简化. 4°

或

。

2.探究:一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. ⑴

从口袋内取出3个球,共有多少种取法?

⑵

从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法? ⑶

从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法? 解:⑴

⑵

⑶

引导学生发现: .为什么呢?

我们可以这样解释:从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以分为两类:一类含有1个黑球,一类不含有黑球.因此根据分类计数原理,上述等式成立.

一般地,从

这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是 ,这些组合可以分为两类:一类含有元素 ,一类不含有 .含有

的组合是从

这n个元素中取出m -1个元素与

组成的,共有

个;不含有

的组合是从

这n个元素中取出m个元素组成的,共有

个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质.在这里,我们主要体现从特殊到一般的归纳思想,“含与不含其元素”的分类思想. 3.组合数的

性质2: .

证明:

∴ .

注:1°

公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数.

2°

此性质的作用:恒等变形,简化运算.在今后学习“二项式定理”时,我们会看到它的主要应用. (三)示例体验熟悉运用

例1 计算:

⑴ ; ⑵ ;

(3) ;

(4) .

例2解方程:(1) ;

(2) .

例3 计算: 和

推广: (四)课堂小结

学生针对下列问题自由发言:通过本节课的学习, 1.你学会了什么知识、技能?

2.你领悟到了怎样的数学思想方法? 3.给你思维上带来什么启迪?