复习参考题优质教案设计

第3讲

复数、算法

[考情分析]

高考中对复数的考查多以选择题、填空题的形式出现，单独命题，一般难度较小．对程序框图的考查主要以循环结构的程序框图为载体，考查学生对算法的理解．

热点题型分析

热点1

复数的基本概念

【方法结论】

1．复数的分类

实数b＝0，纯虚数a＝0，a＋bi(a，b∈R)虚数b≠0非纯虚数a≠0.

2．处理有关复数概念的问题时，首先要找准复数的实部与虚部(若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算化为标准代数形式)，然后根据定义解题．

3．复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法．

【题型分析】

1．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝(

) A．2－3i

C．3＋2i

答案

A 解析

∵z＝i(3－2i)＝2＋3i，∴z＝2－3i，故选A．

a＋3＋a2＋2a－3i2．(2018·湖北沙市中学月考)若复数z＝(i为虚数单位)为i纯虚数，则实数a的值为(

) A．－3

C．3或－1

答案

D a＋3＋a2＋2a－3i2解析

∵z＝＝(a＋2a－3)－(a＋3)i是纯虚数，∴i2a＋2a－3＝0，a＝－3或a＝1，得

－a＋3≠0，a≠－3，B．2＋3i

D．3－2i B．－3或1 D．1

∴a＝1.故选D．

【误区警示】

1．共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可．第1题易混淆概念错选C．

2．解题时一定要先把复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.第2题易只考虑实部a2＋2a－3＝0，得a＝－3或a＝1，错选B．

热点2

复数的几何意义

【方法结论】

1.

2．复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．

【题型分析】

2i1．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(

) 1－iA．第一象限

C．第三象限

答案

B 解析

由题意2i1＋i－2＋2i2i＝＝2＝－1＋i，其对应的点坐标为(－1－i1－i1＋iB．第二象限

D．第四象限

1,1)，位于第二象限，故选B．

2．(2016·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(

) A．(－3,1)

C．(1，＋∞)

答案

A m＋3>0，解析

要使复数对应的点在第四象限应满足

m－1<0，解得－3

【误区警示】

1．分式形式的复数，要将分母实数化(分子分母同乘以分母的共轭复数)，B．(－1,3) D．(－∞，－3)

化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式进行判断，第1题易直接根据分母1－i得出点位于第四象限，错选D．

2．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．

热点3

复数的四则运算

【方法结论】

1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．

2．在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度：

1＋i1－i①(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 1－i1＋i②－b＋ai＝i(a＋bi)，a，b∈R. ③i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 【题型分析】

1．(2016·全国卷Ⅰ)设x(1＋i)＝1＋yi，其中x，y为实数，则|x＋yi|＝(

) A．1

C．3

答案

B 解析

因为x(1＋i)＝1＋yi，所以x＋xi＝1＋yi，x＝1，y＝x＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝2，故选B．

2．设复数z满足A．－i

C．1－i

答案

B 1＋z－1＋i－1＋i1－i解析

由＝i得z＝＝＝i，故选B．

21－z1＋i【误区警示】

1．复数相等要注意化成a＋bi(a，b∈R)的形式，再利用实部与实部相等，虚部与虚部相等．

2．复数运算中i2＝－1的负号易忽略，第2题容易忽略复数的运算法则而从z＝a＋bi形式入手，导致运算量太大或者计算出错．

1＋z＝i，则z＝(

) 1－zB．i

D．1＋i B．2

D．2

热点4

程序框图的应用

【方法结论】

1．判断循环结构的输出结果的方法

(1)首先要清楚循环体、变量的初始条件和循环的终止条件分别是什么，再模拟电脑的运行步骤去运行．

(2)当循环次数较少时，列出每一步的运行结果，直到程序结束，自然就得出答案．当循环次数较多时，注意列出前面的若干步骤，观察、归纳出规律，从而得出答案．

2．当型循环与直到型循环要明确

当型循环是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．

3．控制循环的变量要明确

明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化．

【题型分析】

1．(2017·全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝(

) A．2

C．4

答案

B

B．3

D．5 解析

阅读流程图，初始化数值a＝－1，K＝1，S＝0. 循环结果执行如下：

第一次：S＝0－1＝－1，a＝1，K＝2；

第二次：S＝－1＋2＝1，a＝－1，K＝3；

第三次：S＝1－3＝－2，a＝1，K＝4；

第四次：S＝－2＋4＝2，a＝－1，K＝5；

第五次：S＝2－5＝－3，a＝1，K＝6；

第六次：S＝－3＋6＝3，a＝－1，K＝7；

结束循环，输出S＝3.故选B．

2．(2017·山东济宁模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的S为(

)

A．－2

4C．3

答案

D 解析

模拟执行程序，可得：S＝3，k＝1，

4不满足条件k＝2017？，执行循环体，S＝3，k＝2，

1不满足条件k＝2017？，执行循环体，S＝2，k＝3，

不满足条件k＝2017？，执行循环体，S＝－2，k＝4，

不满足条件k＝2017？，执行循环体，S＝3，k＝5，

4不满足条件k＝2017？，执行循环体，S＝3，k＝6，

……

观察规律，可知S的取值周期为4，由于2017＝504×4＋1，可得，S＝3，k＝2017，满足条件k＝2017？，退出循环，输出S的值为3.故选D．

【误区警示】

1．应注意第1题中“否”对应着输出框，只有不满足判断框内的条件时，循环才能结束．另外，本题最容易出错的地方是把累加S和计数K两个变量的先后顺序颠倒．计数变量K在本题中不仅体现了循环的次数，而且还参与了累乘变量的变化过程．

2．第2题循环次数较多，S的取值要从k＝1开始算规律，从而找出周期，1B．2

D．3

4本题易从S＝3，k＝2得出周期T＝4，导致错选C．

热点5

程序框图的完善

【方法结论】

程序框图完善类问题的求解方法：

(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；

(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；

(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．

【题型分析】

(2018·河北模拟)执行如图所示的程序框图，若输出的n值为11，则判断框中的条件可以是(

) A．S<1022?

C．S<4095?

答案

C

B．S<2018? D．S>4095? 解析

第1次执行循环体，S＝3，应不满足输出的条件，n＝2，

第2次执行循环体，S＝7，应不满足输出的条件，n＝3，

第3次执行循环体，S＝15，应不满足输出的条件，n＝4，

第4次执行循环体，S＝31，应不满足输出的条件，n＝5，

第5次执行循环体，S＝63，应不满足输出的条件，n＝6，

第6次执行循环体，S＝127，应不满足输出的条件，n＝7，

第7次执行循环体，S＝255，应不满足输出的条件，n＝8，

第8次执行循环体，S＝511，应不满足输出的条件，n＝9，

第9次执行循环体，S＝1023，应不满足输出的条件，n＝10，

第10次执行循环体，S＝2047，应不满足输出的条件，n＝11，

第11次执行循环体，S＝4095，应满足输出的条件，

故判断框中的条件可以是S＜4095？，故选C．

【误区警示】

本题容易出错的是不清楚这个判断条件是什么，在执行循环体时弄错S与n的循环顺序而错选B．

真题自检感悟

1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝A．0

C．1

答案

C 1－i1－i2－2i解析

因为z＝＋2i＝＋2i＝2＋2i＝i，所以|z|＝0＋12＝1＋i1＋i1－i1.故选C．

2．(2017·北京高考)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(

) A．(－∞，1)

C．(1，＋∞)

答案

B 解析

∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，

又∵复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，

a＋1＜0，∴解得a＜－1.故选B．

1－a＞0，3．(2017·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为(

) B．(－∞，－1) D．(－1，＋∞) 1－i＋2i，则|z|＝(

) 1＋i1B．2

D．2

A．2

5C．3

3B．2

8D．5

答案

C 解析

开始：k＝0，s＝1；

第一次循环：k＝1，s＝2；

3第二次循环：k＝2，s＝2；

5第三次循环：k＝3，s＝3，

此时不满足循环条件，输出s，

5故输出的s值为3.故选C．

4．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为(

) A．5

C．3

答案

D

B．4

D．2 解析

假设N＝2，程序执行过程如下：

t＝1，M＝100，S＝0，

1001≤2，S＝0＋100＝100，M＝－10＝－10，t＝2，

－102≤2，S＝100－10＝90，M＝－10＝1，t＝3，

3＞2，输出S＝90＜91.符合题意．

∴N＝2成立．显然2是最小值．故选D．