小结第一课时教学实录

数系的扩充与复数的引入

考纲要求

1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义．

2．能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．

1．数系的扩充

数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为__________________，实际上前者是后者的真子集．

2.复数的有关概念

(1)复数的概念

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的______和______．若______，则a＋bi为实数；若______，则a＋bi为虚数；若__________，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔________(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔________(a，b，c，d∈R)．

(4)复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，________叫做实轴，________叫做虚轴．实轴上的点表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示非纯虚数．

复数集C和复平面内________组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．

(5)复数的模

→向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作______或______，其中|z|＝|a＋bi|＝________. 3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__________；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__________；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__________；

z1a＋bia＋bic－di④除法：＝＝＝__________(c＋di≠0)．

z2c＋dic＋dic－di(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝________. [来源学科网]

1．(2012江苏南京、盐城一模)若(1－2i)i＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝__________. 2．若a2－a＋(3a－1)i＝2＋5i，其中i是虚数单位，则实数a的值是__________．

3．若复数z满足iz＝－1＋3i(i是虚数单位)，则z＝__________. 4．若复数z1＝1－i，z2＝2＋4i，其中i是虚数单位，则复数z1z2的虚部是__________．

5．若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，求z·z＋z.

1．解决复数问题的基本策略是什么？

提示：复数代数形式的运算是重点，解答复数问题的基本策略：①复数问题实数化，设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的条件，把复数关系转化为实数关系求解；②利用整体

思想，如z·z＝|z|2＝|z|2. 2．复数与实数运算性质有何异同？

提示：注意复数与实数运算性质的区别．有些实数的运算性质在复数中不一定能成立，如：复数之间不一定能比较大小；z2＞0，|z|2＝z2不一定能成立；由|z|＜1不一定能得到－12＜z＜1；由z21＋z2＝0不一定能得到z1＝z2＝0，等等．

[来源:Z.xx.k.Com]一、复数的概念

mm－2【例1】已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R；(2)zm－1是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上？

方法提炼

处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由它的实部与虚部唯一确定，故复数还可用点Z(a，b)来表示．

请做针对训练3 二、复数的代数运算

2＋2i4【例2】(1)计算：；

1－3i5z2＋az＋b(2)已知z＝1＋i，2＝1－i，求实数a，b的值．

z－z＋1方法提炼

复数代数形式的运算是复数部分的重点，其基本思路就是应用运算法则进行计算．复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误．

请做针对训练2 三、复数的几何意义

【例3】

(2012江苏盐城高三年级第二次模拟考试)若复数z满足|z－i|＝1(其中i为虚数单位)，则|z|的最大值为__________．

方法提炼

复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．模|z1－z2|的几何意义是z1，z2对应的点Z1，Z2的距离Z1Z2. 请做针对训练1

通过对近三年江苏高考试卷的分析可以看出：每年都有一道复数题．复数的概念和代数形式的乘除运算是考查的重点；其次是考查复数的分类，以虚数、纯虚数、共轭复数、复数相等概念为载体，求参数的值或范围，这也是复数问题实数化的具体体现．题型都是填空题，属于容易题．

→1．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C.若OC→→＝xOA＋yOB，则x＋y的值是__________．

1＋i6＋2＋3i. 2．计算：1－i3－2i

3．(1)(2012北京高考)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的__________条件．

2－mi(2)(2012江苏南京金陵中学高考数学预测卷1)已知i是虚数单位，m∈R，且是纯1＋i2－mi2 011＝__________. 虚数，则2＋mi