3.三个正数的算术-几何平均不等式教学设计

三个正数的算术-几何平均不等式

（安庆市白泽湖中学 鲍成航）

一、教学目标

1、了解三个正数的算术-几何平均不等式;了解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式及n个正数不等式的推广.

2、初步掌握两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式及n个正数不等式的推广，解决简单数学问题。。

3、培养学生理解不等式的性质，初步掌握不等式证明的方法,解决数学问题来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

二、教学重难点：

三个正数的算术-几何平均不等式的简单应用是重点，难点是三个正数的算术-几何平均不等式的推导。

三、教材分析：

本节课由基本不等式引入三个正数的算术—几何平均数，再进行定理的推导和推广，尤其定理3的几种变样形式。再通过例题巩固，巩固过程中确定定理应用的条件。

定理的推导和推广略讲，几种变式详讲。在配凑使得“和”或“积”是定值时，又会忘记取等号的条件，所以以大量的例题和练习反复强调“一正、二定、三相等”，在不能取得等号的时候可以考虑函数的单调性。

四、教学设计: （一、）复习回顾：基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系. 定理1.如果a,b∈R,那么a2+b2≧2ab(当且仅当a=b时取等号) 定理2.如果a,b是正实数，那么a+b≧2ab(当且仅当a=b时取等号)

注意：1．这个定理适用的范围：

2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3.利用算术平均数和几何平均数定理时一定要注意定理的条件:

一正;二定;三相等.有一个条件达不到就不能取得最值. 4.基本不等式及其常用变式(1)a2b22ab(a,bR)ab(2)ab(a,bR)2

ab1(3)2(ab0)x（2x0）baxab2a2b2(4)ab()(a,bR)22(5)a2+b2+c2ab+bc+ca(a,b,cR)（二、）引入新课：基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立呢？

类比、猜想：若a,b.cR,那么abc3abc,当且仅当abc时

3等号成立。（三、）新课

1.定理推导

a3b3c33abc(ab)33a3b3ab2c33abc(ab)3c33a3b3ab23abc22(abc)(ab)(ab)cc3ab(abc)

222(abc)a2abbacbcc3ab(abc)(a2b2c2abbcca)1222(abc)(ab)(bc)(ca)0,22 a+b+c3≥abc,

3当且仅当a=b=c时，等号成立。定理3：若a,b.c∈R+,那么语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的

几何平均。

abc3abc(a,b,cR)

推论：3(1)abc为定值时abc33abc（当且仅当abc时,等号成立.）

(2)abc为定值时abc(关于“平均数”的概念：

如果nN*,aiR,1in，则

a1a2nnabc3)（当且仅当abc时,等号成立.）

3an叫做这n个正数的算术平均数。

a1a2an叫做这n个正数的几何平均数。

3.基本不等式：

a1a2an≥na1a2annN*,aiR,1in

n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当ａ1＝a2＝…=an时，等号成立．

4.例题讲解

例1、已知x，y，z∈R+，求证：

3（x+y+z）≥27xyz。

证明：因为xyz3xyz，所以

33（x+y+z）xyz，

273即（x+y+z）27xyz

例２: (1)当0

解：0x1,1x0,

xxyx2(1x)4(1x)

22xx1x4

--------

构造三个数相加等于定值. 4(22)3327x24当1x,x时,ymax.

2327(2)当0

解：0x1,

1x0,

由yx(1x2),得

y2x2(1x2)2

12x2(1x2)(1x2)

212x21x21x234()

2327当2x21x2,x342时,y2max,ymax3.

3279例３将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？

解：设剪去的小正方形的边长为x a则其容积为

: Vx(a2x)2,(0x)

21V4x(a2x)(a2x)

414x(a2x)(a2x)32a3[]

4327

当且仅当4xa2x,xa6时,Vmax2a327

3(x>0)的最小值.

错题分析：求函数y=2x2+,xy2x2312122x2332x2334

xxxxxymin334

(错解:原因是取不到等号) 正解: y2x233333932x2332x233336

x2x2x2x2x22333,x时,ymin336.

2x22当且仅当2x2（四、）本课小结

1.均值定理的应用范围广泛,要关注变量的取值要求和等号能否成立,还要注意它的变式的运用,如:ab2|ab|;abcabbcca;(a2b2)(c2d2)(acbd)22abab2(a2b2)等.22222

2.等号成立的条件不能满足时,可以再从单调性a的角度考虑,力图转化为y=x+(a>0)的形式.x3.利用极值求最大(小)值时,

(1)x,y∈(0,+∞),且xy=P(定值),那么当x=y时,x+y有最小值2P;

(2)x,y∈(0,+∞),且x+y=S(定值),S2那么当x=y时,xy有最大值.4

（五、）作业