一 比较法教学实录

课 题：

第0６课时 不等式的证明方法之一：比较法

[目标要求]会用比较法证明简单的不等式

[探索研究] 比较法，求差比较法的一般步骤，求商比较法的一般步骤

一、引入：

要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

abab0

abab0

abab0

二、典型例题：

例1、设ab，求证：a23b22b(ab)。

例2、若实数x1，求证：3(1x2x4)(1xx2)2.

证明：采用差值比较法：

3(1x2x4)(1xx2)2

=33x3x1xx2x2x2x

=2(x4x3x1)

=2(x1)2(x2x1)

=2(x1)[(x)].

22424231223413x1,从而(x1)20,且(x)20,

24132(x1)2[(x)2]0,

∴

24∴

3(1x2x4)(1xx2)2.

讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

例3、已知a,bR,求证abab.

abba本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.

ab0ababab(aabbabbabbab)0，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设ab0,

aaabba1,ab0,

ba()ab1.故原不等式得证。

bbab

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果mn，问甲、乙两人谁先到达指定地点。

分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2。要回答题目中的问题，只要比较t1,t2的大小就可以了。

解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，根据题意有t1tSS2SS(mn)t2，可得t1m1nS，，t2，

2m2nmn2mn222SS(mn)S[4mn(mn)2]S(mn)2从而t1t2，

mn2mn2(mn)mn2(mn)mn其中S,m,n都是正数，且mn。于是t1t20，即t1t2。

从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：如果mn，甲、乙两人谁先到达指定地点？

例5、设f(x)2x21,pq0,pq1.求证；对任意实数a,b，恒有

pf(a)qf(b)f(paqb).

（1）

证明

考虑（1）式两边的差。

pf(a)qf(b)f(paqb).

＝p(2a1)q(2b1)[2(paqb)1]

＝2p(1p)a2q(1q)b4pqabpq1.

（2）

22222

pq1,pq0,(2)2pqa22pqb24pqab2pq(ab)20.

即（1）成立。

[参考习题] 1．比较下面各题中两个代数式值的大小：

2（1）x与xx1；（2）xx1与(x1). 22．已知a1.

求证：（1）a2a1;

（2）2222a1.

21a3．若abc0，求证aabbcc(abc)abc3.

4．比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．

解：

a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3) = (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)

2b2b22

= - (a-b)3a30

(当且仅当d＝b时取等号) 3

∴a4-b44a3(a-b)。

5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小．

6．已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小．

x1的大小．

8．已知a≠0，比较a2a1a2a1与a7．如果x>0，比较x1与22222a1a2a1的大小．

9．设x1，比较x3与x2-x+1的大小．

说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。