2.3.2 圆的一般方程教学设计

《圆的一般方程》教学设计

一、教材地位和作用分析：

本节内容是必修第二册第四章第一节圆的方程的第二课时内容.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都起着承前启后的作用. 二、教学目标：

1、知识目标：

A．会求圆的一般方程

B.理解圆的一般方程的内在含义并会应用

2、能力目标：

A. 用代数方法研究几何问题的能力

B.数形结合思想的理解和待定系数法的运用. 3、情感目标：

培养学生勇于思考、主动探究知识、合作交流意识、在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.

三、教学重点和难点：

教学重点：圆的一般方程及待定系数法求圆的方程. 教学难点：待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解.

四、教学方法：

在教法上主要采取探究性教学法和启发式教学法，以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。充分利用青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣特点，给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。

由此我采用的教学方法：创设情境----提出问题----引入新课 ----启发引导------形成结论----解决问题。

五、教学过程

教 学 程 序

设

计

意

图

通过复习巩固加强记忆

，自然流畅地提出问题，揭示课题，引发学生思考。使学生目标明确、迅速进入角色。

复习回顾：圆的标准方程：（x-a)2+(y-b)2=r2 复圆心（a,b） 半径 r 习

引

把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开得

入

2x+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0

由于a,b,r均为常数

令-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F

结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：

x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0

引

入

新

课

x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 任何一个圆方程可以写成下面形式：

由具体到一般，引导学生找到分析问题的方法和结论. 通过复习使学生熟悉基础知识、特别是用圆的标准方程推出圆的一般方程，为新课的推进做准备。

探究：是不是任何一个形如

探究新 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示的曲线是圆呢？

22x+y+4x-6y-12=0

知

x2+y2-2x-4y+10=0

把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0

配方可得：1、利用具体问题讨论，降低

探究问题的难度，循序渐进地D2E2D2E24F

(x)(y)引导学生完成探究，形成分类224讨论、等价转化等数学思想.

（1）

当D2+E2-4F>0时，表示以

DE-,-（ ）为圆心，半径为

22

1（ ）的圆 D2+E2-4F2、教师提示配方法，配方和2展开由学生完成，教师最后展（2）

当D2+E2-4F=0时，表示一个点

示结果，再讨论得到的方程. -,-（ 22）

DE

（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，

所以不表示任何图形。

练习巩固：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径

(1)x2+y2-6x=0 (3,0) r=3 (2)x2+y2-4y-5=0 (0,2) r=3 (3)2x2+2y2-4x+8y+5=0 (1,-2) r= 102(4)x2+y2=0 (0,0)点

下，一定表示圆；采用从特殊(5)x2+y2-2ax-b2=0 a=b=0时

是点

a、b不同时为0 是圆

圆的一般方程的特点: 1、圆的一般方程中x2和y2的系数相同，不等于0 2、圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了

到一般，由具体到抽象的认知方式.

3、认识到方程

x2y2DxEyF0可能表示圆，但不一定，促使学生进一步探究在什么条件3.D2+E2-4F>0

教

学

过

例1. 求过三点 A（0,5）， B（1，-2）， C（-3，-4）的圆的方程

解：设所求圆的方程为 x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 把点A，B，C的坐标代入得方程组

使问题化难为易，突破难点，也让学生充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察、思考能力，之后得到圆的一般方程的完整表述.

例1的目的在于熟悉公式，同时对同角三角函数关系有复所求圆的方程为：x2+y2+6x-2y-15=0 习的作用，其难度不是很大，在提供了公式之后，学生应当待定系数法的思想

能够完成

用待定系数法求圆的方程的步骤：

１．根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式。

２．根据条件列关于a，b，r 或

D，E，F 的方程。

趁热打铁目的在于巩固学生对待定系数法的掌握，锻炼学３．解方程组，求出a，b，r 或

D，E，F 的值，生的计算能力

代入方程，就得到要求的方程．

趁热打铁：求经过三点(0,0),(3,2),(-4,0)的圆的方程.

小

结

练

习

巩

固

本节课我们学习了圆的一般方程的表示方法及如何来求圆的一般方程的方法，以及如何判断一个方程是不是表示圆

1、课堂练习

2、课后作业P40

习题4.6第2 、 3、(2)、(3)

六、板书设计

两角和与差的余弦

公式

推导

例1

练习

回顾本节知识有助于学生对本节课的内容更好地掌握。

课堂练习有助于学生进一步熟悉公式，加深学生对公式的理解和认识，回馈教学效果。

ì5E+F+25=0ïï

íD-2E+F+5=0ïïî3D

+4E-F-25=0ìD=6ïïíE=-2ïïîF=-15