探究与发现 组合数的两个性质教学设计实例

组合数的两个性质

一、教学目标：

1.知识与技能

1>掌握组合数的两个性质

2>会解释与证明组合数的两个性质

3>会用组合数的两个性质解决问题

2.过程与方法; 通过证明和典例来认识组合数的两个性质，再利用组合数的两个性质解决问题

3.情感态度价值观：帮助学生树立运动变化的观点，培养学生的探索能力和进取精神，体会数学的基本思想，提升分析问题，解决问题的能力。

二、教学重点：组合数的两个性质

教学难点：组合数的两个性质理解和证明，应用

三、教学过程：

一）、复习引入：排列和组合。

排列与次序有关；组合与次序无关．

二）、进入新课:

mnm1．组合数的性质1：Cn．

Cn解释：

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n



m个元素．因

为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n



m个元素的每一个组合一一对应，所以．．．．从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n



m个元素的组合数，即：mnm．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．

CnCnnm证明：∵Cnn!n!

(nm)![n(nm)]!m!(nm)!mnmn!

∴CnCn

m!(nm)!m

又

Cn0注意：1

我们规定

Cn1

2

等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．

nmnm3

此性质作用：当m时，计算Cn可变为计算Cn，能够使运算简化．

22001200220011例如：C2002＝C2002＝C2002=2002．

x

4

CnCnyxy或xyn

mm12．组合数的性质2：Cn．

1＝Cn+Cnm

m

解释：一般地，从a1,a2,,an1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn1，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从a2,a3,,an1这n个元素中取出m 1个元素mm1与a1组成的，共有Cn个；不含有a1的组合是从a2,a3,,an1这n个元素中取出m个元素组成的，共有Cn个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

n!n!mm1

证明：

Cn

Cnm!(nm)!(m1)![n(m1)]!

n!(nm1)n!m

m!(nm1)!

(nm1m)n!

m!(nm1)!

(n1)!

m!(nm1)!m

Cn1

mmm1

∴

Cn．

1＝Cn+Cn

注意：1

公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．

2

此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．

m2）Cn）；

Cnm11Cnm1（解释：1n；

Cn...Cn2n（解释1：子集个数；解释2：二项式定理）另外：C0nmCnnm1m1m1mCn1；CnCn1

mn13.典例：

例1：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

⑴

从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

⑵

从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

⑶

从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

(4) 说明（1）（2）（3）的关系

323解：⑴

C856

⑵

C721

⑶

C735

例2：

⑴

计算：C7C7C8C9

nnn1n2⑵

求证：Cm2＝Cm+2Cm+Cm

x12x3⑶

解方程：C13

C133456⑷

解方程：Cx2Cx2012x2x313Ax3

1034012345⑸

计算：C4C4C4C4C4和C5

C5C5C5C5C5

012n1n

推广：CnCnCnCnCn2n

例3．组合数性质的简单应用：

证明下列等式成立：

kkkkkk1

⑴

（讲解）Cn1Cn2Cn3Ck1CkCn

kk1⑵

（练习）CkCkk1Ckk2CkknCnk1

⑶

Cn2Cn3CnnCn4.练习1：求证：Cnm123nn01n(CnCnCn)

2nm1mm1Cn1．

（本式也可变形为：mCnnCn1）

m45373232：计算：①

C10和C10；

②

C7与C6；③

C11C11

C6三、作业：

课堂作业：

课外作业：

四、小结：1．组合数的两个性质；

2．从特殊到一般的归纳思想．