小结优质课一等奖教案

计数原理章节小结

一．教材分析

计数问题是数学的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。通过本章的学习，学生学会了计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解到计数原理与现实生活的联系，会解决一些简单的计数问题．

返璞归真地看两个计数原理，它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的推广，它们是解决计数问题的理论依据。排列、组合是两类特殊而重要的计数问题，而解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理。二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“先猜后证”，“学以致用”的思想始终贯穿本章内容，我们特别注意选择一些典型的、富有时代气息的应用问题，引导学生进行分析、论证、探索，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。

计数原理是高中数学中独立性较强的一部分也是密切联系实际的一部分，是高考的必考内容，每年都有1～2道与排列、组合有关的试题．题型一般为选择题或填空题，考查排列组合的基础知识、思维能力，多数试题难度与教材习题的难度相当，但又有个别题目难度较大．二项式定理也几乎是每年高考的必考内

容，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，常见类型有：应用二项式定理的通项公式求系数或指定项，赋值法在二项展开式中的应用，二项式定理在其他知识方面的应用。

二．课时分配

2课时

三.

教学目标

1.知识与技能

掌握两个计数原理、排列、组合、二项式定理及其展开式，能用计数原理和排列组合、二项式定理解决一些简单问题。

2.过程与方法

应用类比、猜想、归纳、推广等数学思想，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力，培养学生的抽象概括能力，培养学生的运算能力，分析能力和综合能力．

3.情感、态度与价值观

通过最容易理解的两个常识(两个原理)，引出排列、组合、二项式定理，进而升华到解决一些与生活息息相关的实际问题，增加了学生们的求知欲，思考、探究的多次出现，使同学们体会到探索的快乐，提高同学们学习数学的兴趣．

4.重点、难点

教学重点：计数原理、排列、组合、二项式定理及其应用．

教学难点：正确运用两个计数原理以及排列、组合概念分析和解决问题，恰当地使用二项式定理解决相关问题．

四．教学过程(第一课时)

1.知识回顾

1.> 分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，......在第n类办法中有

事共有N=

12m种不同的方法。那么，完成这件nmm......m

种不同的方法。

n2.> 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步有m

种不同的方法，做第2步有m

种不同的方法，......12做第n步有mn种不同的方法。那么,完成这件事共有N=mm......m

种不同的方法。

12n3.>两个计数原理的区别

分类计数原理

分步计数原理

区别一

完成一件事，共有n类办法，完成一件事，共分n个步关键词“分类”

骤，关键词“分步”

区别二

每类办法都能独立地完成每一步得到的只是中间结这件事，它是独立的，且每果，任何一步都不能独立次得到的是最后结果，只需完成这件事，只有各个步一种方法就可完成这件事。

骤都完成了，才能完成这件事。

区别三

类类独立

4.

>排列与组合

步步相联

排列：一般地，从n个不同元素中取出m（m<=n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

排列数：从n个不同元素中取出m（m<=n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号

Amnmn

表示。

排列数公式：

An(n1)(n2)......(nm1)

n!(nm)!其中：

n,mN*且mn

组合：一般地，从n个不同元素中取出m（m<=n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

组合数：从n个不同元素中取出m（m<=n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号Cn

表示。

mCmnn(n1)(n2)......(nm1)m!



n!m!(nm)!

其中：组合数性质：

n,mN*且mnCmmnCmnmnm1

Cn1CnCn2.典例分析

基本原理法

例1：将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供选择，那么不同的染色方法共有多少种？

特殊优先法

例2：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同的排法：

（1）男甲排在中间

（2）男甲不在排头，女乙不在排尾

相邻问题，“捆绑法”；不相邻问题，“插空法”。

例3：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同的排法：

（1）三个女生排在一起

（2）三个女生两两不相邻

隔板法

例4：在某次体检中，学号为i(i=1,2,3,4,5)的5名同学的体重f(i)组成集合A={45kg,48kg,57kg}，并满足f(1)<=f(2)<=f(3)<=f(4)<=f(5)，

则这5名同学的体重所有可能的情况有多少种？

间接法

例5：在∠MON的边OM上有5个异于O的点，在ON上有4个异于O的点，以这10个点（含O）为顶点，可以得多少个三角形？

3.巩固练习

1.用0，1，2，3，4，5，这六个数字组成的无重复数字的四位数中：

(1)有多少个奇数；（2）有多少个偶数；（3）有多少大于3125的数？

2.用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，7与8不相邻，这样的八位数共有多少个？

3.不定方程x1+x2+......+x10=100的正整数解有多少组？

4.有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片的数字之和为5，则不同排法共有多少种？

4.小结

排列组合应用题的常用方法

1.

基本原理法

2.特殊优先法

3.相邻问题，“捆绑法”4.不相邻问题，“插空法”。

5.隔板法

6.间接法