复习参考题教学设计一等奖

随机变量及其分布

考点一

条件概率

1．在近几年的高考中对条件概率的考查有所体现，一般以选择题或填空题形式考查，难度中低档．

2．条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．

3.条件概率的性质

(1)非负性：0≤P(B|A)≤1. (2)可加性：如果是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

例1口袋中有2个白球和4个红球，

现从中随机地不放回连续抽取两次，

每次抽取1个，

则：

(1)第一次取出的是红球的概率是多少？

(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？

(3)在第一次取出红球的条件下，

第二次取出的是红球的概率是多少？

规律：条件概率的两个求解策略

PABPAB(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝或P(B|A)＝求解．

PBPAnAB(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)＝求解．

nA其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．

对点训练：

1．把一枚骰子连续抛两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为(

) A．1

1C.

31B.

21D.

42．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．

(1)求此人患色盲的概率．

(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．(以上各问结果写成最简分式形式)．

考点二

相互独立事件的概率与二项分布

1．相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，高考经常考查，各种题型均有可能出现，难度中低档. 而二项分布也是高考考查的重点，高考以大题为主，有时也以选择、填空题形式考查．

2．解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、

补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．

3.考点：（1）．若事件A与B相互独立，

则事件A与B，A与B，A与B分别相互独立，

且有P(AB)＝P(A)P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)．

（2）．若事件A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．

（3）．在n次独立重复试验中，事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的k概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknp(1－p)nk，k＝0,1,2，…，n. －（4）．二项分布满足的条件

与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定：

(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．

(2)各次试验中的事件是相互独立的．

(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．

(4)随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．

43例2.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的557概率为. 10(1)求恰有一名同学当选的概率；

(2)求至多有两人当选的概率．

规律：求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题

(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．

(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．

(3)公式“P(A＋B)＝1－P(A

B) ”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．

对点训练：

1．有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是(

) A．0.56

B．0.92

C．0.94

D．0.96 2．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.

(1)求p；

(2)求电流能在M与N之间通过的概率．

考点三

离散型随机变量的期望与方差

1．离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数，它们反映了随机变量取值的平均值及其稳定性，是高考的一个热点问题，多与概率统计结合考查，难度中高档．

2．期望与方差在实际优化问题中有大量的应用，关键要将实际问题数学化，然后求出它们的概率分布列，同时，要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的期望、方差公式以及期望与方差的线性性质，如E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．

3.考点：(1)求离散型随机变量的期望与方差，一般先列出分布列，再按期望与方差的计算公式计算．

(2)要熟记特殊分布的期望与方差公式(如两点分布、二项分布、超几何分布)．

(3)注意期望与方差的性质．

(4)实际应用问题，要注意分析实际问题用哪种数学模型来表达．

例3中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)，进入总决赛的甲乙21两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设每场比赛的结果互33相独立，现已赛完两场，乙队以2∶0暂时领先．

(1)求甲队获得这次比赛胜利的概率；

(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望．

规律：求离散型随机变量X的期望与方差的步骤

(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值；

(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)；

(3)写出X的分布列；

(4)由分布列和期望的定义求出E(X)；

(5)由方差的定义，

求D(X), 若X～B(n，p), 则可直接利用公式求，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

对点训练：

1．已知随机变量X的分布列如下：

X P 则X的方差为________．

1

0.4

2

0.1

3 x

2．甲、乙2人玩猜数字游戏，规则如下：

①连续竞猜3次，每次相互独立；

②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b∈{0,1,2,3,4,5}，若|a－b|≤1，则本次竞猜成功；

③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖．

(1)求甲、乙2人玩此游戏获奖的概率；

(2)现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和数学期望．

考点四

正态分布

1．高考主要以选择、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，在大题中主要以条件或一问呈现，难度中档．

2．注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．

3.正态变量在三个特殊区间内取值的概率

(1)P(μ－σ

) A．0.447

C．0.954

B．0.628 D．0.977 规律：根据正态曲线的对称性求解概率的三个关键点

(1)正态曲线与x轴围成的图形面积为1；

(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，则正态曲线在对称轴x＝μ的左右两侧与x轴围成的面积都为0.5；

(3)可以利用等式P(X≥μ＋c)＝P(X≤μ－c)(c＞0)对目标概率进行转化求解．

对点训练：

1．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，P(X>1)＝p，则P(－1

) 1A.p

2C．1－2p

B．1－p

1D.－p

22．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．