1.不等式的基本性质国家优质课一等奖

§1.1.1

不等式的基本性质

新化一中 高二数学组 阳培华

教学目标

一、知识与技能

1.了解不等式的实际背景；

2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．

3.掌握不等式的基本性质，通过讲练结合，培养学生转化与化归的数学思想和逻辑推理的能力。

二、过程与方法

1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学概念，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；

2.教师设计一系列问题串、提供素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.

三、情感态度与价值观

1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；

2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；

3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣. 教学重点

1. 通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；

2.

掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小；

3. 掌握不等式的基本性质，通过讲练结合，培养学生转化与化归的数学思想和逻辑推理的能力。

教学难点

1. 掌握不等式的基本性质.，通过讲练结合，培养学生转化与化归的数学思想和逻辑推理的能力

2.用不等式解决简单的含有不等关系的实际问题.

教学建议

建议安排一课时，先让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，再让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，设计了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础. 教学工具：多媒体

1

课时安排：1课时

教学过程：

一、创设情境、导入新课：

问题1:“

横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”体会其中蕴含的不等关系

？

问题2:生活中有哪些不等现象？举例说明

长短

大小

轻重

高矮

现实中，人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，数学中，人们常用不等式表示这样的不等关系，不等式是数学研究重要内容，因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系，和不等式的基本性质。

（设计意图：借助多媒体生动、直观的演示，诗歌和现实中的不等式使学生明确学习不等式的重要性和必要性,同时激发他们探求实际问题的兴趣，使他们主动、积极地参与到教学中来，同时也体会到数学的重要性.）

二、问题导向、探究新知

探究1、两个实数比较大小的依据及应用

研究不等式的出发点是实数的大小关系。我们知道在数轴上的点实数一一对应，且右边的点表示的数比左边的点表示的数大，实数a，b在数轴上的表示如图.可以看出a，b之间具有以下基本事实:

abab0

abab0

abab0

由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了．

【典例讲解】

2

例题1、比较(x3)(x7)和(x4)(x6)的大小．

解：因为：

(x3)(x7)(x4)(x6)(x210x21)(x210x24)302所以

(x3)(x7)(x4)(x6)【配套练习】 比较xx与x2的大小.

归纳总结：

用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要。

（设计意图：通过例题演示，配套练习，强化对作差法比较大小的步骤的书写格式，而且培养学生的计算能力和应用能力.）

探究2、不等式性质及应用

a=b⇒b=a;我们知道，等式有一些基本性质，如

a=b,b=c⇒a=c;

a=b⇒a+c=b+c;

不等式是否有类似性质呢? 问题5:

甲现在比乙大，再过几年，甲仍然比乙大，它揭示了一个什么问题?

a=b,c≠0⇒ac=bc.类比等式的性质，不等式还有哪些性质呢?请同学们自学，完成下面任务。

问题6:

阅读教材P～P第一行，完成下列问题．

35性质1

性质2

对称性

传递性

可加性

a>b⇔b

如果a>b，b>c，那么

如果a>b，那么a＋c>b＋c

如果a>b，c>d，那么

>b＋d

性质3

推论

性质4

推论

性质5

性质6

乘方性质

开方性质

如果a>b>0，c>d>0，那么

如果a>b>0，那么an

bn(n∈N，n≥2) nn如果a>b>0，那么a

b(n∈N，n≥2) 可乘性

如果a>b，c>0，那么

；

如果a>b，c<0，那么

问题7:通过语言叙述可以加深理解上述基本性质，例如，性质（4）可以表述为：不等式两边同乘以一个正数，不等号同向；不等式两边同乘以一个负数，不等号反号。你能用自己的

3

语言叙述以上各条性质吗？

师生活动：请同学用语言表达

问题8:请同学们尝试证明以上不等式性质？（证明一下性质（4））

问题9:思考：观察不等式的基本性质（1）-（6），(见教材P3),并与等式的基本性质比较，你认为在研究不等式时，需要特别注意什么问题？

答：需要特别注意“符号问题”，即在作乘除运算时，乘除数的符号会影响不等号的方向。

（设计意图：通过自学归纳总结让学生自己找到不等式的性质.有助于教学目标的实现，培养学生的自学总结归纳能力，以及表达能力。）

【即时练习】判断对错：

则

ac

2

>

bc

2

;

(1)若a>b,则ac>bc; (2)若a>b,11

22(3)若aab>b; (4)若a;

ab

ba(5)若a.

ab归纳总结2：

不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，必须熟练掌握，注意不等式性质中的条件. 【典例讲解】

ab> .

dc1证明：因为c>d>0,所以cd>0,>0,c-d>0

cd

11cd11于是-=>0，即

>>0.

dccddc

aa由a>0,及性质（4），得>>0.

dc

ab由a>b>0,及性质（4），得>>0.

cc

abab由性质（2）得>>0.由性质（6）得>.

dcdc例2 已知 a>b>0, c>d>0,求证

a例题3：已知12

b

解：因为15

归纳总结3：

思考：你还有其他证明方法吗？

又因为12

1．本例中由a，b的范围求其差a-b的范围，一定不能直接作差，而应转化为 作和求解．

2．求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．

（设计意图：进一步提升学生对不等式基本性质的理解，理解不等式性质的同向可加性和同向可乘性。熟悉不等式基本性质的基本题型。）

三、学以致用，解决问题

生活小实验：b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再添上m克糖（m＞0），未达到饱和的情况下，糖水变甜了。

问题10:你能根据这一事实提炼一个不等式吗？

问题11:请同学们尝试证明提炼出来的不等式？

amabmb（设计意图：数学是来源于生活，又应用于生活，通过生活实例的感悟和应用，激发他们探求实际问题的兴趣，使他们主动、积极地参与到教学中来，同时也体会到数学的重要性.）

师生活动： 学生练习，用投影展示学生成果点评。

四、当堂训练、及时巩固

1．已知a>b>c，则下列不等式正确的是

(

) A．ac>bc

B．ac2>bc2

C．b(a－b)>c(a－b)

D．|ac|>|bc| 12．已知0＜a＜1，则a，，a2的大小关系是________．

aππ3、已知：－≤α<β≤，求α－β的范围．

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4、已知：－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的范围．

（设计意图：明确不等式的性质基本内容和题型，并检测出本节课学习效果）

课堂小结

一、比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，作差比较法的步骤是：

1. 2. 变形： ；

3. ； 4. 作出结论．

二、不等式的基本性质

（1）对称性

（2）传递性

（3）可加性

（4）可乘性

（5）同向可加性

（6）同向同正可乘性

（7）可乘方性

（8）可开方性

5

（设计意图：让学生自己先总结本节的知识和方法，以提高学生自我获知知识的能力，为学生的长期发展打下基础. 教师根据的信息适时地归纳与提炼,帮助学生提升学习经验。）

课后作业

1、学法大视野第63页；

2、预习基本不等式；

3、思考题：若a，b，c满足b＋c＝3a－4a＋6，b－c＝a－4a＋4，

比较a，b，c的大小．

（设计意图：分必做题，思考题，进一步加深学生对于不等式的性质的理解，同时为下一节课做铺垫，思考题供学有余力的学生做，提升学生的思维空间。）

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板书设计

§1.1.1不等式的基本性质

1.

比较两个实数的大小

2、作差法比较大小步骤

3、不等式的基本性质

屏幕

（例题板演）

（设计意图：好的板书是课堂内容最精华的体现，根据本节课的特点，设计了这个板书，做到简明，概括。）

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