二 一般形式的柯西不等式板书设计及设计说明

柯西不等式习题解决方法总结

过程：

1.熟悉回忆柯西不等式的形式：平方和的积大于等于积的和平方。

2.最值求法：要求最值先找定值。

3.配凑方法（1）根据系数（2）根据定值结构

4.证明方法的选择：（1）不等号方向（2）结构特点（3）注意等号的取法

5.可以使用的其他方法：（1）线性规划（2）换元法（3）三角换元法

练习题：

1.若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为(

) A．1 C.2 【答案】

C 【解析】

∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，

∴ax＋by≤2.

2.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(

) 1A．ab≤

2C．a2＋b2≥2 【答案】

C 【解析】

∵(12＋12)(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，

∴a2＋b2≥2.故选C。

3. 设a

， b

， c＞0，且a＋b＋c＝1，则A. 1

B. 【答案】B 【解析】由柯西不等式得，当且仅当的最大值为，故选B. 时等号成立，，

C. 3

D. 9

的最大值是( ) 1B．ab≥

2D.a2＋b2≤3 B．2 D.4 4. n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) 2A. 1

B. n

C. n

D.

【答案】C 【解析】由柯西不等式，得

时取等号，故选C. 5．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是(

) A．[－25，25]

C．[－10，10] 【答案】

A 【解析】

(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2.

∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20.∴－25≤a－b≤25.

6.

若实数a ，b ，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则

A. 3

B. 1

C. 【答案】D 【解析】

D.

B．[－210，210] D.(－5，5) ，当且仅当

的最小值为( ) ，，当且仅当时等号成立，故选D. 22227.已知实数a

， b

， c

， d满足a＋b＋c＋d＝3，a+2b+3c+6d=5 ，则a的最大值是( ) A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 【答案】B

2222解：根据柯西不等式，得（2b+4c+4d）（++）≥（b+c+d）

当且仅当2b=4c=4d时，等号成立

∵a+b+c+d=3，a2+2b2+4c2+4d2=5 ∴5﹣a2≥（3﹣a）2，解之得1≤a≤2，

当且仅当2b=4c=4d且b+c+d=1时，即当b=，c=d=时，a有最大值2．

故选B 928.设x，y∈R＋，且x＋2y＝8，则＋的最小值为________．

xy【答案】

25

82392＋＝[(x)2＋(2y)2][＋【解析】

(x＋2y)xyx22322]≥x·＋2y·y＝yx23248922525，当且仅当x·＝2y·，即x＝，y＝时，“＝”成立．又x＋2y＝8，∴＋≥. 55xy8yx9.函数【答案】25 【解析】，故答案为.

的最小值为________

【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，

关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答

10．设x，y，z∈R，若(x－1)2＋(y＋2)2＋z2＝4，则3x－y－2z的取值范围是__________．又3x－y－2z取最小值时，x的值为__________．

【解析】

[(x－1)2＋(y＋2)2＋z2][32＋(－1)2＋

(－2)2]≥(3x－3－y－2－2z)2,4×14≥(3x－y－2z－5)2，

∴－214≤3x－y－2z－5≤214，

即5－214≤3x－y－2z≤5＋214.

x－1y＋2z若3x－y－2z＝5－214，又＝＝＝t，

3－1－2∴3(3t＋1)－(－t－2)－2(－2t)＝5－214，

∴t＝－14314，∴x＝－＋1.

77314＋1 7【答案】

[5－214，5＋214]

－11.

（1）求函数f(x)x2124x的最大值.

（2）设ab1，求1212得最小值. (a)(b)ab12.在△ABC中，设其各边长为a、b、c，外接圆半径R，求证：(a2＋b2＋c2)(1＋2sinA11＋)≥36R2．

22sinBsinCabc证明：∵===2R，∴由柯西不等式得

sinAsinBsinC111abc2(a2＋b2＋c2)(＋＋) = (＋＋)= (2R＋222sinAsinBsinCsinAsinBsinC2R＋2R)2=36R2．

13.设a

， b

， c为正数，且不全相等.求证：

【答案】见解析

【解析】试题分析：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是柯西不等式的结构特征可以记为

，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键.

试题解析：本题考查三维形式的柯西不等式的应用.解答本题需要构造两组数据，

构造两组数；，

，

，； ，然后利用柯西不等式解决.

，,则由柯西不等式得

，①

即于是 . ，

，

. 由柯西不等式知，①中有等号成立 . 因题设，a

， b

， c不全相等，故①中等号不成立，

于是

.