2.2.2 反证法课堂实录

课题

教学目标

的思考过程与特点

教学重点：

重点

难点

反证法

课型

新授课

结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法了解反证法的思考过程与特点

教学难点：

正确理解、运用反证法

教具

多媒体

准备

课时

2 安排

教学方法、教学教学过程与教学内容

手段与学法、学情

（一）复习：综合法与分析法

综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效。

就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述。

因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程。

（二）探究新课

1．反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，

从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂

直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有

一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；

唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

2．例题探析

例1 已知a是整数，2能整除a，求证：2能整除a. 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”。

因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则

2

的内角和

000a(2m1)4m4m12(2m2m)1，即a是奇数。

所以，2不能整除a。这与已知“2能整除a”相矛盾。于是，“2不能整除2222222a”这个假设错误，故2能整除a. 例2 在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。

证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。

设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，

如图所示，则PMQ00。

这样△MPQPMQMPQPQM

PMQ9090180。

这与定理“三角形的内角和等于180”相矛盾，这说明假设是错误的。

所以直线a与b不相交，即a与b平行。

例3 求证：2是无理数。

0

证明：

2不是无理数，即2是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，

设① 故q是偶数，q也必然为偶数。设q=2k，代入①式，则有2p4k，即222

2p，p0，且p，q互素，则p2q。所以 2p2q2。

q

p22k2，

所以p也为偶数。P和q都是偶数，它们有公约数2，这与p，q互素相矛盾。

因此，假设不成立，即“2是无理数”。

（三）小结：反证法的证题步骤是：（1）作出否定结论的假设；（2）进行推理，导出矛盾；（3）否定假设，肯定结论。

应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）. 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.

注：结合准备题分析以上知识。

反证法的适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）

（四）练习：1.课本P14练习1. 2.“过在同一直线上的三点A,B,C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？

证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，

则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，

即O是l与m的交点。

但

∵A,B,C共线，∴l∥m(矛盾) ∴

过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆。

（五）作业：课本P14练习1，P15习题1-3：

（3）（4）

CAOD

PB

补充题：若a10、a11，an1(1)求证：an1an；

2an(n1,2,，)

1an

1(2)令a1，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数2列的通项公式an；

(3)证明：存在不等于零的常数p，使{anp}是等比数列，并求出公an

比q的值. 解（1）（采用反证法）. 若an1an，即2anan, 解得

an0，1.

1an从而anan1a2a10,1与题设a10,a11相矛盾，

故an1an成立. (2) a1

12n1，a22，a34，a48，a516, ann. 221191753

an12anan1an（3）因为an1p(2p)anp

又an1panpq, 所以(2p2q)anp(12q)0, 因为上式是关于变量an的恒等式，故可解得q

1，p1

2

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