1.3 二项式定理（通用）板书设计及意图

二项式定理复习课教学设计

教学对象分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．

学生已经在高二学习了《二项式定理》的全部内容，对这部分内容已经有了全面的了解。在这个基础上，让学生对《二项式定理》进行全面复习。

内容分析：

教学目标：

1、能用计数原理证明二项式定理；

2、掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式

教学重点：

掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

授课类型：新授课 教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程

1．二项式定理

0nn－1n－rrn*(1)二项式定理：(a＋b)n＝Cna＋C1b＋…＋Crb＋…＋Cnnananb(n∈N)；

n－rr(2)通项公式：Tr＋1＝Crb，它表示第r＋1项；

na01n(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Cn，Cn，…，Cn. 2．二项式系数的性质

1

3.各二项式系数和

(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n. (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1. 题型一 利用二项式定理求指定项或其系数

例1.已知在 (3x123x)n

的展开式中，

第6项为常数项，求展开式中所有的有理项。

解:通项公式为Tn2rr+1=Crn(12)rx3, ∵第6项为常数项,∴r=5时,有n-2r=0,即n=10. 102r根据通项公式Tr+1=Cr(11032)rx,得102r3Z

∵r∈N,且0r10，∴r可取2,5,8. ∴第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为T21245251633C10(2)2x4x; T6C10(2)58;

T8124529C10(2)8x256x题型二 二项式系数与项的系数

例2. (2014·安徽)设a≠0，n是大于1的自然数，(1xa)n的展开式

为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.

[解析]

由题意知，A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．

故a0＝1，a1＝3，a2＝4. 由(1xa)n的展开式的通项公式知，

Trxrr1Cn(a)(r＝0,1,2，…，n)．

故C1na＝3，C2na2＝4，解得a＝3. 探究：

2

x9(1)= a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9中

在展开式3（3）展开式中二项式系数最大的项是

。

（4）求展开式中系数最大的项。

解：(4)设第r1项的系数最大x1Tr1C9r()rC9r()rxr,33r1rr11r1C()C()r9933，解得r1rr11r1C9()C9()r33又rN，r25232

1第3项的系数最大，T3C92()2x24x23巩固练习: (3)(2013课标全国Ⅰ高考,理9)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=(

) A.5

B.6

C.7

D.8 由题意可知,aC2m,bC2m1.

又∵13a=7b,∴13(2m)!7(2m1)!, m!m!m!(m1)!即132m1.解得m=6.故选B.

7m1mm

（4）若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5, 其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=

. 规律总结：

（I）二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；

二是赋值，这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解．

（II）通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点：

nrr(1)Crb是第r＋1项，而不是第r项；

na－nrr(2)运用通项公式Tr＋1＝Crb解题，一般都需先转化为方程(组)求出n，r，然后代入通项公式求解；

na－(3)求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求出所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系．

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