1.2.2 空间中的平行关系教学内容

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 1.2.2 空间中的平行关系

【课前预习】

1．平行直线

(1)平行直线的定义及平行公理

在平面几何中，我们把______________________的两条直线叫做平行线．

过直线外一点_____________直线和这条直线平行．

(2)基本性质4 基本性质4：平行于同一条直线的两条直线 _________________．

(3)等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．

2．直线和平面平行

(1)直线和平面的位置关系

①按公共点个数分类

a．直线与平面________——有且只有一个公共点

b．直线___________——有无数个公共点

c．直线与平面__________——无公共点

②按是否在平面内分类

直线在平面内

直线和平面相交

直线不在平面内直线和平面平行

③直线与平面位置关系的符号语言表示

直线a在平面α内，________.

直线a与平面α相交于点A，___________. 直线a与平面α平行，___________. (2)直线和平面平行的定义

如果一条直线和一个平面_____________，那么，这条直线和这个平面平行．

(3)直线和平面平行的判定

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~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 直线和平面平行的判定定理：如果__________的一条直线和这个平面内的一条直线__________，那么这条直线和这个平面平行(即线线平行，则线面平行)．

(4)直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，______________________和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(即线面平行，则线线平行)．用符号表示为：__________________________________________. 3．平面和平面平行

(1)平面和平面的位置关系：

______________________ ______________________ (2)两个平面平行的判定定理

如果一个平面内有两条________直线都________于另一个平面，那么这两个平面平行．

定理的符号语言表示为：

若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，且a∥β，b∥β，则α∥β. 推论：如果一个平面内有______________直线分别平行于另一个平面内的___________直线，则这两个平面平行．

其符号语言为：若a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，且a∩b＝A，a∥c，b∥d，则α∥β. （3）两个平面平行的性质

(1)我们根据两个平面平行及直线和平面平行的定义，容易得到下面结论：

α∥β，a⊂α⇒a∥β. 这就是说：

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面．

(2)两个平面平行的性质定理

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么_________________．(简言之：面面平行⇒线线平行) 【典型例题】

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~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 题型一：直线与平面的位置关系

例1 如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．

已知：A∈，A∈l，B∉，B∈l. 求证：直线l与平面相交．

跟踪训练1 求证：平面外的一条直线a如果和平面内任何一条直线都没有公共点，则这条直线和平面平行．

题型二：线线平行问题

例2求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

跟踪训练2 已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F分别为AA1、CC1的中点．

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~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 求证：BF∥ED1.

题型三：线面平行问题

例3：在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点．求证：EF∥平面SAD

跟踪训练3 已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD的中点，过E、F作平面α∥AB.求证：CD∥平面α

题型四：平面与平面平行的判定

例4：正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是CC1、AA1的中点，求证：平面BDE∥平面~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 第

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~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ B1D1F.

跟踪训练:4 已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并证明

跟踪训练5 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．

【课后作业】

1．如果两条直线a和b没有公共点，那a和b(

) A．共面

B．平行

C．异面

D．平行或异面

2．能得出直线a与平面α平行的条件是(

) A．a⊄α，b⊂α，a∥b

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~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ B．b⊂α，a∥b

C．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c

D．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD

3．两直线a∥b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．

4．直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的(

) A．至少有一条

B．至多有一条

C．有且只有一条

D．不可能有

5．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面(

) A．只有一个

B．至多有两个

C．不一定有

D．有无数个

6．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是(

) A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α

B．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交

C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

7．α、β、γ是三个两两平行的平面，且α与β之间的距离是3，α与γ之间的距离是4，则β与γ之间的距离是________．

8. 如图所示，α∥β，P为α，β外一点，且直线PAB，PCD分别与α，β相交于A，B，C，1D，若PA＝2，AB＝1，AC＝，则BD＝________. 2

9 . 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝3，AB＝6，E、F分别为AB和A1D的中点．

求证：AF∥平面A1EC.

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