2.3.2 圆的一般方程主要内容及教案内容

【新课教学过程设计（一）】

第四章

圆与方程

第4.1.2节

圆的一般方程

【本节教材分析】

（一）三维目标

1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.

（二）教学重点：

圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.

（三）教学难点：

对圆的一般方程的认识、掌握和运用.

（四）教学建议

教材通过将二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后化为(x+22D2F)+(y+)2=DE4F后224只需讨论D2+E2-4F＞0、D2+E2-4F=0、D2+E2-4F＜0.与圆的标准方程比较可知D2+E2-4F＞0DE122,-)为圆心,D2E24F为半径的圆；当D+E-4F=0时,方程只有实数222DEDE解x=-,y=-,即只表示一个点(-,-);当D2+E2-4F＜0时,方程没有实数解,因而它不表2222时,表示以(-示任何图形.

从而得出圆的一般方程的特点：(1)x2和y2的系数相同,不等于0；(2)没有x·y这样的二次项；(3)D2+E2-4F＞0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件,只有三条同时满足才是充要条件.

同圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2含有三个待定系数a、b、r一样,圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中也含有三个待定系数D、E、F,因此必须具备三个独立条件才能确定一第

1 页

共

8 页

个圆.同样可以用待定系数法求得圆的一般方程.在实际问题中,究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢？应根据具体问题确定.圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径,因此,对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题,一般采用圆的标准方程.如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系,通常采用圆的一般方程；有时两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式,这是因为它可避免解三元二次方程组.

圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长.我们知道,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中,哪些是圆的方程,哪些不是圆的方程,它们各有自己的优点,在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化,尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.要画出圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性.

【新课导入设计】

导入一：

①说出圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程. ②学生练习:将以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程展开并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. ③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式. ④能不能说方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内容,教师板书课题:圆的一般方程.

导入二：（创设情境导入法）

问题：求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式.教师板书课题:圆的一般方程.

导入三：

情景导入、展示目标

222前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r，现将展开可得x+y-2ax-2by+a+b-r=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x+y+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x+y+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．

222222222【课堂结构】

第

2 页

共

8 页

提出问题

①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法? ②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢? ③给出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含x和y的一次项的式子. ④把式子(x－a)2＋(y－b)2=r2与x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比较,得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件. ⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点? 讨论结果：①以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的. ②我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般. D2E2D2E24F③把式子x+y+Dx+Ey+F=0配方得(x+)+(y+)=. 22422④(x－a)2＋(y－b)2=r2中,r＞0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r＜0时不表示任何图形. D2E2D2E24F因此式子(x+)+(y+)=. 224DE1,-)为圆心,D2E24F为半径的圆；

222DEDE(ⅱ)当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点(-,-); 2222(ⅰ)当D2+E2-4F＞0时,表示以(-(ⅲ)当D2+E2-4F＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.

综上所述,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D2+E2-4F＞0时,它表示的曲线才是圆.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F＞0.

我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.

⑤圆的一般方程形式上的特点:

x2和y2的系数相同,不等于0.没有xy这样的二次项.

圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.

与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显. 例题讲解

例1

判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径. (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0; (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0. 解:(1)由4x2+4y2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=而D2+E2-4F=1+9-9=1＞0, 所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(第

3 页

共

8 页

9, 4131,-),半径为；

222

(2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,得

D=-1,E=3,F=1122,D+E-4F=1+9-11=-1＜0, 4所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圆的方程. 点评:对于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用条件D2+E2-4F与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断. 变式训练

求下列圆的半径和圆心坐标：

(1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0. 解:(1)把x2+y2-8x+6y=0配方,得(x－4)2＋(y+3)2=52,所以圆心坐标为(4,-3),半径为5；

(2)x2+y2+2by=0配方,得x2＋(y+b)2=b2,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|. 例2

求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标. 解:方法一：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圆上,则有

F0.

DEF20,4D2EF200.解得D=-8,E=6,F=0, 故所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x－4)2＋(y+3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5. 1153,),M1M2的中点F(,), 222211再写出OM1的垂直平分线PE的直线方程y-=-(x-),

①

2235AB的垂直平分线PF的直线方程y-=-3(x-),

②

22方法二：先求出OM1的中点E(x4,xy1,联立①②得得则点P的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径. y3.3xy9,方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|, 即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5为半径. 方法四：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2,因为O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a、b、r的方程组,即

(1a)2(1b)2r2,222

abr,(4a)2(2b)2r2.a4,解此方程组得b3,所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y+3)2=52,圆心坐标为(4,-3),半径为5. r5.点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程. 第

4 页

共

8 页

例3

已知点P(10,0),Q为圆x2+y2=16上一动点.当Q在圆上运动时,求PQ的中点M的轨迹方程. 活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.

图1 解法一:如图1,作MN∥OQ交x轴于N, 则N为OP的中点,即N(5,0). 因为|MN|=1|OQ|=2(定长). 2所以所求点M的轨迹方程为(x-5)2+y2=4. 点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M的运动情况,探求它是由什么样的点控制的. 解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x0,y0). 10x0x,x02x10.2因为M是PQ的中点,所以

(*) 即y0y0,y02y.2又因为Q(x0,y0)在圆x2+y2=16上,所以x02+y02=16.将(*)代入得

(2x-10)2+(2y)2=16. 故所求的轨迹方程为(x-5)2+y2=4. 点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x0,y0). xf1(x0,y0),②求出点M与点Q坐标间的关系

(Ⅰ) yf2(x0,y0).x0g1(x,y),③从(Ⅰ)中解出

(Ⅱ) y0g2(x,y).④将(Ⅱ)代入主动点Q的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程. 这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用. 变式训练

已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程. 解:设点M的坐标是(x,y), 点A的坐标是(x0,y0). 由于点B的坐标是(4,3)且M是线段AB的中点,所以x=第

5 页

共

8 页

x04y3,y=0.于是有22

x0=2x-4,y0=2y-3.

①

因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+y02=4.②

把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x-所以点M的轨迹是以(323)+(y-)2=1. 2233,)为圆心,半径长为1的圆. 221例4 已知一条曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为的点的轨迹，试求出曲线的2方程，并指出此曲线是什么图形．

|PO|1思路分析：设P(x，y)为曲线上任一点，则＝，由两点间的距离公式求出|PO|，|PA|2|PA|后代入上式便可得到曲线的方程，再由方程的特点判断是什么曲线即可．

|PO|1解：设P(x，y)为曲线上任一点，则＝，

|PA|2∵|PO|＝x＋y，|PA|＝(x－3)＋y. ∴1＝，

22(x－3)＋y222222222x2＋y2化简得：x＋y＋2x－3＝0，即(x＋1)＋y＝4. ∴所求曲线的方程是(x＋1)＋y＝4，它是以(－1,0)为圆心，以2为半径的圆．

温馨提示：求轨迹方程的一般步骤是：

(1)建立适当的坐标系(如果坐标系已存在，此步可省略)；

(2)设M(x，y)为轨迹上任一点；

(3)由已知条件列出含x，y的方程；

(4)化简方程． 变式练习：

已知△ABC的边AB长为2a，若BC的中线为定长m，求顶点C的轨迹方程．

解：由题意，以线段AB的中点为原点，AB边所在的直线为x轴建立直角坐标系，如下图则A(－a,0)，B(a,0)，设C(x，y)，则线段BC的中点为E22x＋a，y. 22∵|AE|＝m，第

6 页

共

8 页

∴x＋a＋a2＋y2＝m，化简得(x＋3a)2＋y2＝4m2.由于点C在直线AB上时，不能构成22222三角形，故去掉曲线与x轴的两个交点，从而所求的轨迹方程是(x＋3a)＋y＝4m(y≠0)．

课堂小结

1.任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有D2+E2-4F＞0时,方程表示圆心为(-r=DE,-),半径为2212D2E24F的圆. 2.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程. 3.要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法. 作业

习题4.1

A组1、6，B组1、2、3.

当堂检测

１．方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4+9=0表示圆，则实数m的取值范围是（

）

11＜m＜1

Ｂ．－1＜m＜

7711

Ｃ．m＜－或m＞1

Ｄ．m＜－1或m＞

77Ａ．－２．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于直线x＋y=0对称，则有（

）

Ａ．D＋E=0

Ｂ．D＋F=0

Ｃ．E＋F=0

Ｄ．D＋E＋F=0 ３．经过三点A(0，0)、B(1，0)、C(2，1)的圆的方程为（

）

Ａ．x2＋y2＋x－3y－2=0

Ｂ．

x2＋y2＋3x＋y－2=0

Ｃ．

x2＋y2＋x＋3y=0

Ｄ．

x2＋y2－x－3y=0 ４．方程xyxyk0表示一个圆，则实数k的取值范围是

. ５．过点A（－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为

. ６．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．

22第

7 页

共

8 页

全

品中考网

第

8 页

共

8 页