2.基本不等式教学实录与评析

基本不等式（教学设计）

河间市第一中学

张志峰

回顾知识：

(ab)20a2b22abababab2ab21、一正二定三相等。

2、要对定值非常敏感，要对式子的结构特点非常敏感。

母题:

1.x0,y0,2x3y6,求xy的最大值

解1:x0,y0,2x3y622x3y26xy,xy63xy22

32x3yx当且仅当即2时取等号2x3y6y1112x3y2123解2:xy=2x3y()3662623x当且仅当

2

时取等号

y1

192.x0,y0,2,求

xy的最小值

xy

1191y9x1解:xyxy1010298

2xy2xy2

y3xx2即时取等号

当且仅当192y6xy变式1:x0,y0,x2yxy0,求

x2y的最小值

解1:x2yxy211

xy214yxx2yx2y44248

xyxy

x2yx4当且仅当21即时取最小值1y2xy11x2y解2:x2yxy0x2yxyx2y22212x2y812设

x2yu,即uuu0或u8

82

x2yx4x2y8,当即时取等号

x2yxyy2变式2:x0,y0,x2y2xy8,求x2y的最小值

x2y2解1:x2y2xy8x2yx2yx2y()

2u2u8u8或u4

设

x2yu,即4x2yx2x2y4,当即时取等号

x2y2xy8y1

解2:x2y2xy8

(x1)(2y1)9x2y(x1)(2y1)22(x1)(2y1)624

x12y1x2当且仅当

即时取等号

x2y2xy8y1变式3:a0,b0满足ab1,求11的最小值

3a23b211111解:3a23b2

3a23b273a23b213b23a214222173a23b277

1当且仅当3a23b2，即ab时取等号2变式4:x2,y1,xy7,求2x3y1的最小值

x2y12x3y112解:3

x2y1x2y1112x2y1x2y141y12x2334x2y1331152232244

x422y12(x2)当且仅当即时取等号

xy7y942a1变式5:设ab2,b0,求的最小值

2ab

aaaba12解:2ab4ab4ab

aaba124a4ab4a413144

a0a2当ab2,即时取等号b4b2a课堂小结：

1、

要对定值敏感！

2、

要关注式子的结构特点，并善于根据式子的结构特点和“1”的替换来拼凑定值！

3、

利用基本不等式求最值一般有两种方法：直接拼凑定值和转化为不等式求解最值！

课后作业：

1.x0,y0,x3y5xy,求3x4y的最小值.

2.x0,y0,4x29y23xy30,求

xy的最大值