二 一般形式的柯西不等式教学设计案例

3.1二维形式的柯西不等式

一、教学目标

1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．

2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．

四、教学难点

通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．

五、教学过程

（一）导入新课

复习基本不等式。

（二）讲授新课

教材整理

二维形式的柯西不等式

内容

代数形式

等号成立的条件

若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥

设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|

当且仅当

时，等号成立

向量形式

当且仅当

，或，等号成立

设x1，y1，x2，y2∈R，那么三角形式

222x21＋y1＋x2＋y2≥

当且仅当时，等号成立

（三）重难点精讲

题型一、二维柯西不等式的向量形式及应

例1已知p，q均为正数，且p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.

【精彩点拨】

为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．

113322【自主解答】

设m＝p2，q2，n＝(p，q)，则

31312222p2＋q2＝pp＋qq＝|m·n|≤|m||n| ＝p3＋q3·p＋q＝2p＋q. 又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，

(pq)222∴≤p＋q≤2p＋q，

2(pq)2∴≤2·p＋q，则(p＋q)4≤8(p＋q)．

2又p＋q>0，

∴(p＋q)3≤8，故p＋q≤2.

规律总结：

使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a|＝x2＋y2对数学式子变形的影响．

[再练一题] 1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否仍然成立？

【解】

设m＝(p，q)，n＝(1,1)，

则p＋q＝p·1＋q·1＝|m·n|≤|m|·|n|＝p2＋q2·12＋12. 又p2＋q2＝2. ∴p＋q≤2·2＝2. 故仍有结论p＋q≤2成立. 题型二、运用柯西不等式求最值

例2

若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．

【精彩点拨】

由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．

【自主解答】

由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1. 1∴4x2＋9y2≥，

2当且仅当2x×1＝3y×1，

11即x＝，y＝时取等号．

461∴4x2＋9y2的最小值为. 2规律总结：

1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果．

2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．

[再练一题] 2．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点. 【解】

由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4.

4所以x2＋y2≥，

253x＋4y＝2，xy当且仅当＝时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组xy343＝4，

∴8y＝25.6x＝，25

68684，. 因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为，最小值点为2525252525题型三、二维柯西不等式代数形式的应用

例3已知|3x＋4y|＝5，求证：x2＋y2≥1.

【精彩点拨】

探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明．

3x＋4y2【自主解答】

由柯西不等式可知(x＋y)(3＋4)≥(3x＋4y)，所以(x＋y)≥2. 3＋422222222又因为|3x＋4y|＝5，

3x＋4y2所以2＝1，

3＋42即x2＋y2≥1.

规律总结：

1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．

2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．

[再练一题] a2b23．设a，b∈R＋且a＋b＝2.求证：＋≥2.

2－a2－b【证明】

根据柯西不等式，有

aba＋b

[(2－a)＋(2－b)]2－a＋2－b＝[(2－a)2＋(2－b)2]2－a2－b2ab2－a·＋2－b·≥＝(a＋b)2＝4. 2－a2－b2222

a2b24∴＋≥＝2，

2－a2－b2－a＋2－b当且仅当2－a·ba＝2－b·，

2－b2－a即a＝b＝1时等号成立．

a2b2∴＋≥2.

2－a2－b（四）归纳小结

—向量形式二维柯西不等式——三角形式—柯西不等式求最值—代数形式（五）随堂检测

1．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为(

) A.13

B．169

C．13

D.0 【解析】

(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，

∴x2＋y2≥13.

【答案】

C 2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(4a＋1＋4b＋1)2的最大值是(

) A．26

B.6

C．6

D.12 【解析】

(4a＋1＋4b＋1)2

＝(1×4a＋1＋1×4b＋1)2

≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12，

当且仅当4b＋1＝4a＋1，

1即a＝b＝时等号成立．故选D. 2【答案】

D 3．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝________. 【解析】

|a|＝4+（-3）＝5，且

|b|＝1，

∴a·b＝|a|·|b|，

因此，b与a共线，且方向相同，

22

43，－. ∴b＝5543，－

【答案】

55六、板书设计

3.1二维形式的柯西不等式

教材整理

二维形式的柯西不等式

七、作业布置

同步练习：3.1二维形式的柯西不等式

八、教学反思

例1：

例2：

例3：

学生板演练习