三 反证法与放缩法优秀公开课教案

§2.3反证法与放缩法

一、

教材分析

证明不等式过程中除了前面的比较法，综合法和分析法等直接证明外，还可以利用正难则反思想来间接证明，以及不等式的传递性性质来求解，这就是反证法和放缩法。如果遇到要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰或者从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形，常常用反证法来证明。而有时我们需要利用放缩法将不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的,

二、教学目标：

1、

知识与技能：理解掌握反证法、放缩法的基本原理和思路并会用上述方法证明一些简单的不等式。

2、

过程与方法：通过例题的分析和练习，掌握证明数列不等式的多方面技巧，从而培养数学核心素养，提高解题能力。

3、

情感态度价值观：在知识的学习过程中，体验数学的科学价值与应用价值，培养学生学会观察分析并证明的严谨科学态度。

三、

教学重难点

1、重点：掌握用反证法以及放缩法证明相关不等式

2、难点：①根据问题的特点，选择适当的证明方法。②掌握合理的放缩技巧、

四、教学过程

（一）知识探究

1.反证法

先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。

2．放缩法

在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小实现证明。例如：要证ba,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)。这种证明方法,我们称之为放缩法。放缩法的依据就是传递性。

（二）例题讲解 例1、已知x,y0,且xy2,试证：1x1y,中至少有一个小于2。

yx证：反证法，假设1x1y1x1y,2,2

都不小于2，即yxyx因为x,y0,所以1x2y,1y2x，相加得xy2，这与已知xy2,矛盾

所以原命题成立。

1

例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0， 求证：a, b, c > 0

证明：反证法，假设a,b,c不全大于0，则a,b,c中至少有一个不大于0，由题意不妨设a0

（1）若a0，则abc0与已知矛盾。

（2）若a0，因为abc0，所以bc0，又因为abc0,cba0

所以abbccaabcbc0矛盾。

同理可证b0,c0

综上所述原命题成立。

例3、若a, b, c, dR+，求证：1

aabdbbcaccdbddac2证明：因为a,b,c,dR，

所以aabcdaabdabab ， abcdbbbcaab

cccabcdcdbcd ， dabcdddacddc

以上三式相加得：

abcdabcdaabcdabdbcacdbdacbabcdcd

即1aabdbbcaccdbddac2

例4、已知

a,bR，求证：

|ab|1|ab||a|1|a||b|1|b|

【证法一】左式=1|a||b||a||b||a||b111|a||b|1|a||b|1|a||b|≤1|a||1|b|=右式

|ab|【证法二】左式

=111|a|b|a||b||a||1|ab|11|a||b|1|a||b|1|a||b|1|a||b|≤1|a|b|1|b|=右式

（三）习题演练

1.已知ABC的三边长是a,b,c,且m为正数,

求证:a

ambbmccm

2.已知实数x,y,z不全为零，求证：

x2xyy2y2yzz2z2zxx232(xyz)2

（四）课堂小结

1、反证法证题的步骤： 若A成立，求证B成立。

共分三步：（1）提出与结论相反的假设；如负数的反面是非负数，正数的反面是非正数即0和负数（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错）（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 矛盾：与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾。

2、放缩法的意义：放缩法发理论依据是不等式的传递性：若ab,bc，则ac

放缩法的操作：若求证PQ，先证PP1P2Pn,再证恰有PnQ,

需注意：（1）只有同方向才可以放缩，反方向不可

（2）不能放（缩）得太大（小），否则不会有最后的PnQ,

3