2.基本不等式第一课时导学案

第三节基本不等式

1．基本不等式ab≤a＋b

2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 2．几个重要的不等式

ba(1)a2＋b2≥

2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；

aba＋b2a＋b2a＋b(3)ab≤(a，b∈R)；(4)22≤2(a，b∈R)．

3．算术平均数与几何平均数

a＋b设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．

q2(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是4(简记：和定积最大)．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当a≥0，b≥0时，a＋b≥ab.(

) 2a＋b≥ab成立的条件是相同的．(

) 222(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与xy(3)x＞0且y>0是y＋x≥2的充要条件．(

) 答案：(1)√

(2)×

(3)×

2．若x>0，y>0，且2(x＋y)＝36，则xy的最大值为(

) A．9

C．36

B．18 D．81

解析：选A

由2(x＋y)＝36，得x＋y＝18，所以xy≤等号成立．

13．若x<0，则x＋x(

) A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2 解析：选D

因为x<0，所以－x>0，－x＋1所以x＋≤－2. xx＋y＝9，当且仅当x＝y＝9时，21≥2，当且仅当x＝－1时，等号成立，－x4．已知0

) 1A.

33C.

4解析：选B

∵0

x＋1－x23∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝4. 1当且仅当x＝1－x，即x＝时，“＝”成立．

25．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．

解析：x2＋2y2＝x2＋(2y)2≥2x(2y)＝22，

当且仅当x＝2y且xy＝1时等号成立．

所以x2＋2y2的最小值为22. 答案：22 6．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，

x＋10－x2由题知0

考点一

利用基本不等式求最值

基础送分型考点——自主练透

[考什么·怎么考]

1B.

22D.

3

利用基本不等式求最值是高考的基本考点，高考主要求最值、判断不等式、解决不等式有关的问题，试题难度不大，主要是以选择题、填空题形式出现，有时解答题中也会利用基本不等式求最值.

方法(一)

拼凑法求最值

31．设0

422330，，

∵∈42390

292．(2018·常州调研)若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋的最小值为________．

x＋4解析：∵x＞－4，∴x＋4＞0，

99∴f(x)＝x＋＝x＋4＋－4≥2 x＋4x＋4当且仅当x＋4＝9x＋4·－4＝2，

x＋49，即x＝－1时取等号．

x＋49故f(x)＝x＋的最小值为2. x＋4答案：2 [方法点拨]

1．拼凑法求最值

拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．

2．拼凑法求解最值应注意的问题

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件．

方法(二)

常数代换法求最值

123．若直线2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)，则m＋n的最小值为(

) A．2

B．6

C．12

D．3＋22 解析：选D

因为直线2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)，

所以2m＋2n－2＝0，即m＋n＝1，

12n2m12＋所以m＋n＝(m＋n)＝3＋mnm＋n≥3＋22，

n2m当且仅当“m＝n，即n＝2m”时取等号，

12所以m＋n的最小值为3＋22，故选D. [方法点拨]

1．常数代换法求最值的步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；

(4)利用基本不等式求解最值．

2．常数代换法求解最值应注意的问题

(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；

(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；

(3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．

方法(三)

消元法求最值

4．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(

) 22A.

3C.3

3B.2

323D.

3解析：选A

因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，

1－x2所以y＝. 6xx>0，由即1－x2y>0，>0

x>0，6x

解得0

33x32x122当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．

33x21222故x＋2y的最小值为. 3[方法点拨]

通过消元法求最值的方法

消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．

[怎样快解·准解]

1．如何正确选用方法来求最值

(1)已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，采用拼凑法．

(2)已知两变量之间的和或积为常数时，求解有关代数式的最值问题，采用常数代换法．

2．利用基本不等式求最值应满足的三个条件要谨记

(1)一正：各项或各因式均为正；

(2)二定：和或积为定值；

(3)三相等：各项或各因式能取到使等号成立的值．

利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．

考点二

基本不等式的实际应用

重点保分型考点——师生共研

高考中利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题转化为代数问题，列出函数关系式，再利用基本不等式求最值.

[典题领悟]

经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)k满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已m＋1知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

[构建模型]

题中信息

销售量、促销费用

销售价格、成本

利润最大

对接方法

由题中信息确定k值，进而明确两者关系

售价、成本用销售量x与促销费用m表示，构建关于m的关系式

利用基本不等式求解

解：(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1，

2∴1＝3－k，解得k＝2，即x＝3－，

m＋18＋16x每1万件产品的销售价格为1.5×x(万元)，

∴2017年的利润y＝x1.5×8＋16x－(8＋16x＋m) x＝4＋8x－m

2＝4＋83－m＋1－m

16＝28－－m(m≥0)．

m＋1∴利润y表示为年促销费用的函数关系式是y＝28－16(2)由(1)知y＝－m＋1＋m＋1＋29(m≥0)．

16－m(m≥0)．

m＋1∵m≥0时，16＋(m＋1)≥2m＋116·m＋1＝8，

m＋116当且仅当＝m＋1，即m＝3时取等号．

m＋1∴y≤－8＋29＝21，

即当m＝3时，y取得最大值21. ∴当该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元．

[解题师说]

利用基本不等式求解实际应用题的方法

(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．

[冲关演练]

某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形的休闲区A1B1C1D1和人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示)．

(1)若设休闲区的长和宽的比的解析式；

(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？

解：(1)设休闲区的宽为a m，则长为ax m，

|A1B1|＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)|B1C1|

2010由a2x＝4 000，得a＝. x2010则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4 000＋(8x＋20)·＋160＝8010x2x＋5＋4 160(x>1)．

x(2)S(x)＝80102x＋760，当且仅当2x＝5＋4 160≥8010×2x52x·＋4 160＝1 600＋4 160＝5 x5，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100. x所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别设计为100 m,40 m.

(一)普通高中适用作业

A级——基础小题练熟练快

a2＋b21．“a＞b＞0”是“ab＜”的(

) 2A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“aa2＋b2＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件，故选A. 22．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则xy(

) A．有最大值为1

1C．有最大值为

2B．有最小值为1 1D．有最小值为

2解析：选C

因为x>0，y>0，x＋2y＝2，

1所以x＋2y≥2x·2y，即2≥22xy，xy≤，

21当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立．

21所以xy有最大值，且最大值为. 2123．若实数a，b满足a＋b＝ab，则ab的最小值为(

) A.2

C．22

B．2 D．4 12解析：选C

因为a＋b＝ab，所以a>0，b>0，

12由ab＝＋≥2 ab12×

＝2 ab2，

ab所以ab≥22(当且仅当b＝2a时取等号)，

所以ab的最小值为22. －x24．已知函数f(x)＝(x<－1)，则(

) x＋1A．f(x)有最小值4

C．f(x)有最大值4

－x2x2－1＋1解析：选A

f(x)＝＝－

x＋1x＋111＝－x－1＋x＋1＝－x＋1＋x＋1－2

B．f(x)有最小值－4 D．f(x)有最大值－4 ＝－(x＋1)＋1＋2，

－x＋1因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，

所以f(x)≥21＋2＝4，

当且仅当－(x＋1)＝故f(x)有最小值4. 115．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值ab是(

) A．3

C．5

B．4 D．6 1，即x＝－2时，等号成立．

－x＋111解析：选B

由题意知ab＝1，∴m＝b＋a＝2b，n＝a＋b＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m＋n的最小值为4. 6．已知lg a＋lg b＝2，则lg(a＋b)的最小值为(

) A．1＋lg 2

C．1－lg 2

B．22 D．2 解析：选A

由lg a＋lg b＝2，可知a>0，b>0，

则lg(ab)＝2，即ab＝100. 所以a＋b≥2ab＝2100＝20，

当且仅当a＝b＝10时取等号，

所以lg(a＋b)≥lg 20＝1＋lg 2. 故lg(a＋b)的最小值为1＋lg 2.

7．当3＜x＜12时，函数y＝x－312－x的最大值为________．

xx－312－x－x2＋15x－36解析：y＝＝

xx36x＋x＋15≤－2 ＝－36x·＋15＝3，

x36当且仅当x＝x，即x＝6时，ymax＝3. 答案：3 a8．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________. x解析：∵x＞0，a＞0，

a∴f(x)＝4x＋x≥2 a4x·x＝4a，

a当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．

x又∵f(x)在x＝3时取得最小值，

∴a＝4×32＝36. 答案：36 xy9．(2017·山东高考)若直线a＋b＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．

xy解析：∵直线a＋b＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，

12∴＋＝1，

ab∵a＞0，b＞0，

12∴2a＋b＝(2a＋b)a＋b

b4a＝4＋a＋b≥4＋2 b4aa·b＝8，

b4a当且仅当a＝b，即a＝2，b＝4时等号成立，

∴2a＋b的最小值为8. 答案：8 10．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

900600600解析：由题意，一年购买x次，则总运费与总存储费用之和为x×6＋4x＝4x＋x

≥8 是30. 900·x＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值x答案：30 B级——中档题目练通抓牢

111．设a>0，b>0，a＋b＝a＋b，则3a＋81b的最小值为(

) A．6

C．18

B．9 D．24 11a＋b解析：选C

由a＋b＝a＋b＝ab，a>0，b>0，得ab＝1. 所以3a＋81b＝3a＋34b≥23a·34b

＝23a＋4b≥232a·4b＝2322

×＝2×32＝18，

当且仅当a＝4b＝2时等号成立，故选C. 2．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值为(

) 4A.

35C.

45B.

3D．2 解析：选D

30＝4x2＋9y2＋3xy≥236x2y2＋3xy，

即30≥15xy，所以xy≤2，

当且仅当4x2＝9y2，即x＝3，y＝故xy的最大值为2. 193．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，ab则实数m的取值范围是(

) A．[3，＋∞)

C．(－∞，6]

B．(－∞，3]

D．[6，＋∞) 23时等号成立．

319解析：选D

因为a＞0，b＞0，＋＝1，

ab19b9ab9a＋所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋29＝16，当且仅当＝，即a＝4，b＝ababab12时，等号成立．由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，

即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，

令f(x)＝x2－4x－2，

则f(x)＝x2－4x－2＝(x－2)2－6，

所以f(x)的最小值为－6，

所以－6≥－m，即m≥6. 4．规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝ab＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝k⊗x的最小值为________．

x解析：由题意得1⊗k＝k＋1＋k＝3，即k＋k－2＝0，解得k＝1或k＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值为1. 又f(x)＝1⊗xx＋x＋11＝＝1＋x＋≥1＋2＝3，

xxx1，即x＝1时取等号，

x当且仅当x＝故函数f(x)的最小值为3. 答案：3 115．(2018·河南百校联盟模拟)已知正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值为a＋1b＋3________．

解析：∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，∴11111＋＝[(a＋1)＋(b＋3)]a＋1＋b＋3a＋1b＋381b＋3a＋1111＋＝2＋≥×(2＋2)＝，当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，∴8a＋1b＋382a＋111＋的最小值为. 2b＋31答案：

26．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

82解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1. xy又x＞0，y＞0，

82则1＝＋≥2 xy828·＝，得xy≥64，

xyxy82当且仅当x＝y，即x＝16且y＝4时等号成立．

所以xy的最小值为64. 82(2)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，

822x8y＋(x＋y)＝10＋＋

则x＋y＝xyyx≥10＋2 2x8y·＝18. yx2x8y当且仅当＝，即x＝12且y＝6时等号成立，

yx所以x＋y的最小值为18. 387．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；

22x－3(2)设0

183解：(1)y＝(2x－3)＋＋

22x－323－2x83＝－2＋＋. 3－2x23当x<时，有3－2x>0，

2∴3－2x8＋≥2 23－2x3－2x8·＝4，

23－2x3－2x81当且仅当＝，即x＝－时取等号．

223－2x355于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－. 222(2)∵00，

x＋2－x∴y＝x4－2x＝2·x2－x≤

2·＝2，

2当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，

∴当x＝1时，函数y＝x4－2x的最大值为2. C级——重难题目自主选做

某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当110 000年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋x3－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；

(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，

所以x千件商品销售额为0.05×1 000x＝50x万元，依题意得，当0＜x＜80时，L(x)11＝50x－x2－10x－250＝－x2＋40x－250. 33

当x≥80时，L(x)＝50x－51x－10 00010 000x＋＋1 450－250＝1 200－x. x所以L(x)＝x＋10 000，x≥80.1 200－x1－x2＋40x－250，0＜x＜80，3

1(2)当0＜x＜80时，L(x)＝－(x－60)2＋950. 3当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．

10 000x＋x

当x≥80时，L(x)＝1 200－≤1 200－2 10 000x·x＝1 200－200＝1 000. 10 000当x＝x，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．

由于950＜1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．

(二)重点高中适用作业

A级——保分题目巧做快做

a2＋b21．“a＞b＞0”是“ab＜”的(

) 2A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“aa2＋b2＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件，故选A. 22．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则xy(

) A．有最大值为1

1C．有最大值为

2B．有最小值为1 1D．有最小值为

2解析：选C

因为x>0，y>0，x＋2y＝2，

1所以x＋2y≥2x·2y，即2≥22xy，xy≤，

21当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立．

21所以xy有最大值，且最大值为. 2x2＋333.(2018·深圳三校联考)已知f(x)＝x(x∈N*)，则f(x)在定义域上的最小值为(

)

58A.

5C.33

x2＋3333解析：选B

f(x)＝x＝x＋x，

∵x∈N*，

33∴x＋x≥2 33x·x＝233，

23B.

2D．233 33当且仅当x＝x，即x＝33时取等号．

但x∈N*，故x＝5或x＝6时，f(x)取最小值，

当x＝5时，f(x)＝当x＝6时，f(x)＝58，

523，

223. 2故f(x)在定义域上的最小值为－x24．已知函数f(x)＝(x<－1)，则(

) x＋1A．f(x)有最小值4

C．f(x)有最大值4

－x2x2－1＋1解析：选A

f(x)＝＝－

x＋1x＋111＝－x－1＋x＋1＝－x＋1＋x＋1－2

B．f(x)有最小值－4 D．f(x)有最大值－4 ＝－(x＋1)＋1＋2. －x＋1因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，

所以f(x)≥21＋2＝4，

当且仅当－(x＋1)＝1，即x＝－2时，等号成立．

－x＋1故f(x)的最小值为4. 5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值为(

) 4A.

35C.

45B.

3D．2 解析：选D

30＝4x2＋9y2＋3xy≥236x2y2＋3xy，

即30≥15xy，所以xy≤2，当且仅当4x2＝9y2，即x＝3，y＝23时等号成立．故xy3

的最大值为2. 6．(2018·湖南长郡中学月考)设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 017＝4 034，19则＋的最小值为________．

a9a2 009解析：由等差数列的前n项和公式，得S2 017＝2 017a1＋a2 017＝4 034，则a1＋a2 017＝219149×41a9＋a2 0099a9＋a2 0094.由等差数列的性质得a9＋a2 009＝4，所以＋＝＋＝＋a9a2 0094a9a2 0094a9a2 0091a2 0099a9≥12＋＝＋10a2 00944a9求最小值为4. 答案：4 7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

900600600解析：由题意，一年购买x次，则总运费与总存储费用之和为x×6＋4x＝4x＋x≥830. 答案：30 8.已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．

x＋2y2解析：因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log2当且仅当x＝2y＝2，2－1＝2－1＝1，即x＝2，y＝1时等号成立，所以log2x＋log2y的最大值为1. 答案：1 389．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；

22x－3(2)设0

183解：(1)y＝(2x－3)＋＋

22x－32833－2x＝－2＋＋. 3－2x23当x<时，有3－2x>0，

2∴3－2x8＋≥2 23－2x3－2x8·＝4，

23－2x900x＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是x·a2 0099a9×＋10＝4，当且仅当a2 009＝3a9时等号成立，故所a9a2 0093－2x81当且仅当＝，即x＝－时取等号．

223－2x

355于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－. 222(2)∵00，

x＋2－x∴y＝x4－2x＝2·x2－x≤

2·＝2，

2当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，

∴当x＝1时，函数y＝x4－2x的最大值为2. 10.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．

(1)求S关于x的函数关系式；

(2)求S的最大值．

9007 200－2＝－2x－解：(1)由题设，得S＝(x－8)＋916，x∈(8,450)．

xx(2)因为8

所以2x＋7 200≥2 x7 2002x·＝240，

x7 200当且仅当2x＝x，即x＝60时等号成立，

从而S≤－240＋916＝676. 故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2. B级——拔高题目稳做准做

a11.(2018·合肥模拟)已知函数f(x)＝ax3－2x2＋cx在R上单调递增，且ac≤4，则2＋3c＋4c的最小值为(

) a＋42A．0

1C.

41B.

2D．1 1解析：选B

因为函数f(x)＝ax3－2x2＋cx在R上单调递增，所以f′(x)＝ax2－4x＋c3

a>0，≥0在R上恒成立．所以所以ac≥4，又ac≤4，所以ac＝4，又a>0，Δ＝16－4ac≤0，

所以c>0，则2≥2 c＋aacacac111111＋2＝2＋2＝＋＝c－＋a－＝a＋c－c＋4a＋4c＋aca＋accc＋aac＋ac＋ac＋a21211－＝1－＝，当且仅当a＝c＝2时等号成立，故选B. ac2ac221122.(2018·海淀期末)当0

) A．[－2,0)∪(0,4]

C．[－4,2]

B．[－4,0)∪(0,2]

D．[－2,4]

1112m＋1－2m21解析：选D

因为0

解析：∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，∴11111＋＝[(a＋1)＋(b＋3)]a＋1＋b＋3a＋1b＋381b＋3a＋1111＋＝2＋≥×(2＋2)＝，当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，∴8a＋1b＋382a＋111＋的最小值为. 2b＋31答案：

24．已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．

x＋22xy解析：依题意得x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时x＋yx＋22xyx＋22xy取等号)，即的最大值为2.又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值为2. x＋yx＋y答案：2 5．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

82解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1.

又x＞0，y＞0，

82则1＝＋≥2 xy828·＝，得xy≥64，

xyxy当且仅当x＝16且y＝4时，等号成立．

所以xy的最小值为64. 82(2)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，

822x8y＋则x＋y＝(x＋y)＝10＋xyy＋x

≥10＋2 2x8y·＝18. yx当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，

所以x＋y的最小值为18. 6．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，1当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋310 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；

(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，

则x千件商品销售额为0.05×1 000x＝50 x万元，

依题意得，

11当0＜x＜80时，L(x)＝50x－x2－10x－250＝－x2＋40x－250. 33当x≥80时，L(x)＝50x－51x－10 00010 000x＋x. ＋1 450－250＝1 200－x所以L(x)＝x＋10 000，x≥80.1 200－x1－x2＋40x－250，0＜x＜80，3

1(2)当0＜x＜80时，L(x)＝－(x－60)2＋950. 3当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．

10 000x＋x

当x≥80时，L(x)＝1 200－≤1 200－2 10 000x·x＝1 200－200＝1 000.

10 000当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．

x由于950＜1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．