小结第二课时教案

《研究性学习：探索与发现“杨辉三角”中的秘密》教学案

树德中学都江堰外国语实验学校：陈昌君

2018年5月

教学目标:知识目标: 进一步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律，形成知识网络，培养学生综合应用知识分析和思考的意识。能力目标: 培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新精神和探究能力；情感目标：了解我国古今数学的伟大成就，培养民族自信心和自豪感，增强爱国情感，培养爱国热情．

教学重点：杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求. 教学难点: 杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求. 教学过程：

一、

课题引入：

1、中国古代的数学成就是非常的高，我们接触过得古代数学家有：祖冲之，秦久韶，杨辉。这些都是中华民族伟大文化的一部分，作为中国人应该了解和学习，发扬光大。

观察杨辉三角所蕴含的数量关系

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1 1

6

15

20

15

6

1 1

7

21

35

35

21

7

1 1

8

28

56

70

56

28

8

1 1

9

36

84

126

126

84

36

9

1 1

10

45

120

210

252

210

120

45

10

1 1

11

55

165

330

462

462

330

165

55

11

1 1

12

66

220

495

792

924

792

495

220

66

12

1 1 13 78 286 715 1284 1716 1716 1284 715 286 78 13 1 2杨辉三角基本性质：

介绍杨辉三角蕴含的基本规律 n（1）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）展开式的二项式系数，即

0n1n11rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnb

n!r表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是Cn．

r!(nr)!rnr（2）杨辉三角具有对称性（对称美），即Cn．

Cn (3)

杨辉三角具有单调性，当n小于项数和的一半的时候，随着项数的增加二项式系数单调递增。由对称性，过了中间项的的项二项式系数单调递减。

（4）当n为偶数时,第n行有奇数项,中间一项最大;当n为奇数时,第n行有偶数项,中间两项相等且最大．这条性质就是二项式系数的性质2．

rr1r(5)

三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是Cn Cn1Cn1．叫杨辉恒等式

下面,师生一起继续探究杨辉三角蕴含的其他关系。

1

二、问题研究：观察杨辉三角所蕴含的数量关系（帕斯卡的写法）杨辉三角有趣的数字排列规律



1

0行

1 1 1行

1 2 1 2行

1 3 3 1 3行

1 4 6 4 1 4行 1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

11行

问题1：算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：

第1行

1＋1＝

第2行

1＋2＋1＝“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”；

第3行

1＋3＋3＋1＝

第4行

1＋4＋6＋4＋1＝

第5行

1＋5＋10＋10＋5＋1=

．．．

012rn1nn

第n行

CnCnCnCnCnCn2

分析：第n行数字的和为

，前n-1行(含第0行)所有数的和为 它恰好比第n行的和 K问题2：杨辉三角的第1，3，7，15，．．．行，即第2-1(k是正整数)行除两端的1之外的各个数字有什么特点？

问题3杨辉三角第2行中，除去两端的数字1以外，各个数字有什么特点？

分析：

问题3：两端的1之外，哪些行的各个数字是3的倍数？

分析：

问题4：（1）第1条斜线上的数字构成了数列1，1，1，…，1…；（2）第2条斜线上的数字依次构成数列1，2，3，4，…；

（3）1，3，6，10，…；二阶等差数列(其一阶差分数列是等差数列)（4）一般的情况呢？

2

K

问题5：杨辉三角中一个确定的数的“右(左)肩”

出发，

向左(右)下方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和有什么规律．例如：

1＋2＋3＋4+5=

，

1＋3＋6＋10=

，．．．

一般地，在第m条斜线上(从右上到左下)前n个数字的和，等于 ．

根据这一性质，猜想下列数列的前n项和：

1＋1＋1＋

．．．＋1＝ (第1条斜线) 11＋2＋3＋

．．．＋Cn1＝ (第2条斜线) 1＋3＋6＋

．．．＋C2n1＝

(第3条斜线) 31＋4＋10＋

．．．＋Cn1＝

第4条斜线)

．．．

rr1CrrCrr1Crr2CnC1n(nr)

(第r+1条斜线) 怎样证明：

练习：

问题6：杨辉三角与“纵横路线图”

“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？

我们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数．有趣的是，B处所对应的数70，正好是答案．一般地，

每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法数．由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系．

3

问题7：如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？

此数列{an}满足，

a1=1，a2=1，

且an=an-1+an-2 (n≥3)这就是著名的斐波那契数列．

课外阅读：1：斐波那契数列。2，杨辉三角与“堆垛术”(三角垛，正方垛，

．．．)三．教学小结：

1、数学家杨辉，是中华民族的骄傲，了解古代数学家的成就增强爱国情感；

2、探究杨辉三角蕴含的数字排列规律，培养观察、探究及创新能力；

3、热爱家乡，努力学习，宣传都江堰的厚重文化底蕴，传承道教文化和水文化。

四、杨辉——古代数学家的杰出代表

杨辉，杭州钱塘人.中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.

五．练习

1、将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．

第1行

1 1

第2行 1 0 1

第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1

2、观察下列等式：C5C522，C9C9C922，C13C13C13C1322，1591317C17C17C17C17C1721527，………由以上等式推测到一个一般的结论：

1531597315913115

3，高尔登板。

对于nN*，C4n1C4n1C4n11594n1C4n1 ． 3、如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为1111111111(n2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：,,…，则第1222363412nn(n3)行第3个数字是 ．

4

5