1.3 二项式定理（通用）课件配套优秀获奖教案

1．3.1

二项式定理

学习目标：

1.理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法．

2．熟练掌握二项展开式的通项，并能运用这个通项求指定项或指定项的系数．(重点) 3．掌握二项式定理展开式中系数的规律，明确二项式系数与各项系数的区别．(重点、难点)

学法指导：

通过观察、归纳(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4的展开式猜想得到二项式定理的过程，体验归纳猜想、证明的逻辑推理的思维方法；能抓住通项公式求展开式中特定的项. 教学过程：

引入：观察下列已经证明过的恒等式中各项的系数的特征：

发现：

猜想：

新课：

猜想的证明：

展开式中

项是从

个

中有

个选

，另外

个

选

作积而得到，其系数为

. 知识点梳理

1．二项式定理

n1n－1n－kkn*(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb(n∈N)．

(1)这个公式所表示的定理叫做二项式定理．

(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项式的展开式，展开式中一共有n＋1项．

(3)二项式系数：各项的系数Ckn(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．

注意：(1)“二项式系数”与“展开式项的系数”的区别．

(2)二项式定理形式上的特点．

在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，次数由n次逐项减小1次直到零次，同时字母b按照升幂排列，次数由零次逐项增加1次直到n次．

(3)二项式定理中的字母a，b是不能交换的，即(a＋b)n与(b＋a)n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，二者不能混淆．

(4)二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a、b，该等式都成立．通过对a、b取不同的特殊值，可给某些问题的解决带来方便，二项式定理通常还有如下两种变形：

n0n1n－11rrn－rrn①(a－b)＝Cna－Cnab＋…＋(－1)·Cnab＋…＋(－1)nCnnb；

rrnn②(1＋x)n＝1＋C1nx＋…＋Cnx＋…＋Cnx. 2．二项展开式的通项

nkk(a＋b)n展开式中第k＋1项Tk＋1＝Ckb(k＝0,1，…，n)称为二项展开式的通项．

na注意：展开式通项的特点：

k＋1(1)它表示二项展开式的第k＋1项，该项的二项式系数是Ckn，而不是Cn；

(2)字母b的次数和组合数的上标相同；

(3)a与b的次数之和为n；

利用二项展开式的通项可以求出二项展开式中某些特殊的项(如常数项、含x的次幂的项等)．

基础练习：

1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(

) n－kk(2)Ckb是(a＋b)n展开式中的第k项．(

) na(3)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

2．(x＋2)6的展开式中x3的系数为(

) A．20

B．40 C．80

D．160 k6－kk解析：选D.通项为Tk＋1＝C6·x·2，当6－k＝3，

3333即k＝3时，T4＝C6x·2＝160x. 13．在(x2＋)6的二项展开式中的常数项是第________项．

x解析：设第r＋1项为常数项，则

2(6－r)－r12－3rTr＋1＝Cr·x＝Cr. 6x6x令12－3r＝0，

得r＝4. 答案：5 4．二项式定理中等号左侧(a＋b)n中的a与b能交换吗？

n－kkn－kk解：不能，因为(a＋b)n中的通项Ckb与(b＋a)n的通项Cka是不同的，故nanb不能随便交换a与b.

例题：

－

利用二项式定理求展开式

1求(2x－)6的展开式．

x2x－1611[解]

(2x－)6＝()＝3(2x－1)6

xxx1524334256＝3[(2x)6－C16(2x)＋C6(2x)－C6(2x)＋C6(2x)－C6(2x)＋C6] x1＝3(64x6－6×32x5＋15×16x4－20×8x3＋15×4x2－6×2x＋1) x

＝64x3－192x2＋240x－160＋60121－＋. xx2x3方法归纳

(1)熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问题的关键．

(2)我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．

141．求(3x＋)的展开式．

x131解：法一：(3x＋)4＝(3x)4＋C1(3x)＋

4xx1132414C4(3x)2()2＋C3(3x)()＋C)

44(xxx121＝81x2＋108x＋54＋＋2. xx3x＋1411法二：(3x＋)4＝()＝2(1＋3x)4

xxx123344＝2[1＋C13x＋C24·4(3x)＋C4(3x)＋C4(3x)] x1＝2(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4) x112＝2＋＋54＋108x＋81x2. xx

二项式系数与项的系数问题

1(1)求二项式(2x－)6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；

x1(2)求(x－)9的展开式中x3的系数．

x(链接教材P31例2) [解]

(1)由已知得二项展开式的通项为

16－rTr＋1＝Cr·(－)r

6(2x)x3－＝(－1)rCr26r·x3－r

6·2159∴T6＝C5x－. 6(2x)(－)＝－12·x25∴第6项的二项式系数为C6＝6，

第6项的系数为C5(－1)·2＝－12. 6·(2)设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则

1－9－rTr＋1＝Cr·(－)r＝(－1)r·Crx92r. 9x9·x

令9－2r＝3，∴r＝3，

即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C39＝－84. 方法归纳

求某项的二项式系数、展开式中其项的系数或展开式中含xr的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与项的系数两者的区别．

2．本例条件不变，问题(1)改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”；问题(2)改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解．

1－解：(1)由通项Tr＋1＝Cr(2x)6r·(－)r

6·x3r6－r＝(－1)r·Cr·2·x3－，

62知第四项的二项式系数为C36＝20，

第四项的系数为C3(－1)3·23＝－160. 6·(2)设展开式中第r＋1项为含x5的项，则

1－－Tr＋1＝Crx9r·(－)r＝(－1)r·Crx92r. 9·9·x令9－2r＝5，∴r＝2，

即展开式中的第3项含x5，且系数为C29＝36.

求展开式中的特殊项

(1)(1＋x)2·(1－x)5的展开式中含x3的项是________．

13(2)在(2x－)20的展开式中，系数是有理数的项共有(

) 2A．4项

B．5项

C．6项

D．7项

25[解析]

(1)(法一)(1＋x)·(1－x)＝(1－x2)2(1－x)3＝(1－2x2＋x4)·(1－3x＋3x2－x3)，∴x3的系数为1×(－1)＋(－2)×(－3)＝5.故含x3的项为5x3. (法二)∵(1＋x)2的通项：Tr＋1＝Crxr，

2·(1－x)5的通项：Tk＋1＝(－1)k·Ckxk，

5·＋∴(1＋x)2·(1－x)5的通项：(－1)k·CrCkxkr(其中r∈{0,1,2}，k∈{0,1,2,3,4,5}．

2·5·令k＋r＝3，

k＝1，k＝2，k＝3，则有或或

r＝2r＝1r＝0.1233∴x3的系数为－C1C5－C35＋C2·5＝5，故含x的项为5x.

1320－k(2)Tk＋1＝Ck(－)k

20(2x)2＝(－2k320－kk20－k)·(2)C20·x. 2

20－k∵系数为有理数，∴(2)k与23均为有理数，

∴k能被2整除，且20－k能被3整除．

故k为偶数，20－k是3的倍数，0≤k≤20，

∴k＝2,8,14,20. [答案]

(1)5x3

(2)A 方法归纳

求展开式特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．

x393．在(＋)的展开式中，

3x(1)求常数项；

(2)求中间两项．

x9－r3r解：Tr＋1＝Cr(()

9)3x3－＝Cr32r9x9－r. 9·23(1)当9－r＝0，即r＝6时展开式是常数项，

2即常数项为T7＝C633＝2 268. 9·x3(2)(＋)9的展开式共10项，

3x它的中间两项分别是第5项、第6项，

－－T5＝C4389x96＝42x3，

9·T6＝C53109x9·－9－152＝378x3.

易错警示

对二项展开式中常数项理解错误

1x＋－15展开式的常数项．

求x11x＋－15＝x＋－15，

[解]

法一：因为xxr15－r·所以展开式的通项为Tr＋1＝Cr(－1)(0≤r≤5)．①

5·x＋x当r＝5时，T6＝C5(－1)5＝－1；

5·15－r－k1kk5－r－x＋5－r的展开式的通项为Tk＋1＝Ck当0≤r<5时，x·＝Cx－r·－r·55xx2k(0≤k≤5－r)．

因为0≤r<5，且r∈Z，r＋2k＝5，

所以r只能取1或3，此时相应的k值分别为2或1，

r＝1，r＝3，即或

k＝2k＝1.1所以常数项为C1C2(－1)1＋C3C2·(－1)3＋(－1)②＝－51. 5·4·5·11x＋1－1·x＋1－1，

x＋－15＝x＋－1·法二：因为…·xxxx1132221所以常数项为C1x·C·(－1)＋CC32·(－1)＋C5(－1)5＝－51. 545x·5·xx1x＋5－r的展开式时，用的是[错因与防范]

(1)一是对解题不严密，①处在考虑x二项式定理，但没有注意二项式定理只对两项和的正整数次幂适用，当r＝5时，5－r＝0，此种特殊情况应特殊处理；二是对概念的理解错误，一个展开式中常数项只能有一个，如②处，不可能出现两个或两个以上的常数项．(2)常数项是展开式中所有常数的和，而不是求出的各项的常数．

1|x|＋－23的展开式的常数项．

4．求|x|11－|x|633解：因为|x|＋|x|－2＝，而(1－|x|)6中，|x|3的系数A＝C336(－1)＝－20，|x|1|x|＋－23的展开式的常数项为－20. 所以|x|函数与方程思想在二项式求解中的应用

数学思想

设函数f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n(m，n∈N*)．若其展开式中关于x的一次项的系数和为11，问m，n为何值时，含x2项的系数取最小值？并求出这个最小值．

1[解]

由题意知C1m＋Cn＝11，

∴m＋n＝11，∴m＝11－n. 1122设f(n)＝C2m＋Cn＝[m(m－1)＋n(n－1)]＝[(11－n)(10－n)＋n(n－1)]＝n－11n＋221199n－2＋.∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时f(n)取最小值25.故当m＝5且n＝655＝24或m＝6且n＝5时含x2项的系数取最小值，最小值为25. [感悟提高]

根据题意可以得到x2项的系数是关于n(或m)的二次函数表达式，再利用二次函数的性质探求最小值问题．解决本题的关键是构造x2的系数为关于n的函1199n－2＋的对称轴方程为数f(n)，在求解中应注意f(n)的定义域，即二次函数f(n)＝2411n＝，即n＝5.5，但n∈N*，所以n≠5.5.由于5和6距离5.5等距离，所以f(n)的最2小值在n＝5或n＝6处取得．