1.不等式的基本性质名师教学设计1

一

不等式

1.1

不等式的基本性质

学习目标

1.掌握比较两个实数大小的方法．

2.理解不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小．

3.能运用不等式的性质证明不等式等简单问题.

特别关注

1.作差比较法是常用方法．(重点) 2.不等式的性质常与函数相结合进行数或式的大小比较．(重点、难点) 3.常以小题的形式进行考查，有时也出现在解答题的过程中.

预习学案：

1．用________连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．

2．(a＋b)2＝___________________. (a＋b)3＝_____________________. a3＋b3＝_______________________．

走进教材：

1．实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系

(1)设a，b∈R，则①a>b⇔________；②a＝b⇔_______；③a1⇔______；②＝1⇔_______；③<1⇔______. bbb2．不等式的基本性质

(1)

对称性

如果a>b，那么____；如果bb⇔____. (2)

传递性

如果a>b，b>c，那么_____.即a>b，b>c⇒______. (3)

可加性

如果a>b，那么a＋c___b＋c.即a>b⇔a＋c____b＋c. (4)

可乘性

(5)

(6)

如果a>b，c>0，那么____________；

如果a>b，c<0，那么____________. 如果a>b>0，那么an_____bn(n∈N，n≥2)．

nn如果a>b>0，那么a______b(n∈N，n≥2).

乘方

开方

自主练习：

1．若a＜b＜0，则下列不等关系中不能成立的是(

) 1111A.＞

B.＞

aba－baC．|a|＞|b|

D．a2＞b2 1111解析：

取a＝－2，b＝－1得＞，＜，|a|＞|b|，

aba－baa2＞b2.故B不成立．

2．设b＜a，d＜c，则下列不等式中成立的是(

A．a－c＞b－d

C．a＋d＞b＋c

解析：

∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d.

) B．a－c＜b－d D．a＋c＞b＋d 答案：

D 113．以下四个不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a.其中使＜成立的充ab分条件是________．

11b－a解析：

＜⇔＜0⇔b－a与ab异号，依题设①②④能使b－a与ab异号．

ababaa＋14．已知a＞b＞0，比较与的大小．

bb＋1a－baa＋1ab＋1－ba＋1解析：

－＝＝. bb＋1bb＋1bb＋1∵a＞b＞0，

∴a－b＞0，b(b＋1)＞0. a－baa＋1∴＞0.∴＞. bb＋1bb＋1典例导航：

.比较a4－b4与4a3(a－b)的大小．

[思路点拨]

用作差法比较两个数(式)的大小时，变形为关键，定号为目的．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．一般变形越彻底，越有利于下一步的判断．在定号中，若为几个因式积，需每个因式均先定号，若符号不确定时，需分类讨论．

[解题过程]

a4－b4－4a3(a－b) ＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b) ＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3) ＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)]

＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2) b22b23a＋＝－(a－b)＋≤0(当且仅当a＝b时取等号)．

332∴a4－b4≤4a3(a－b)．

变式训练1．已知x>1，比较x3－1与2x2－2x的大小．

[思路点拨]

解答本题可用作差法借助因式分解变形．“变形”是解题的关键，是最重要一步．因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法．

解析：

x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2

＝(x－1)(x2－x＋1) 13x－2＋. ＝(x－1)2413x－2＋>0，

∵x>1，∴x－1>0.又2413x－2＋>0.∴x3－1>2x2－2x. ∴(x－1)24例2.下列命题中正确的是(

) (1)若a＞b，c＞b，则a＞c；

a(2)若a＞b，则lg ＞0；

b(3)若a＞b，c＞d，则ac＞bd；

11(4)若a＞b＞0，则＜；

abab(5)若＞，则ad＞bc；

cd(6)若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c. A．(1)(2)

B．(4)(6) C．(3)(6)

D．(3)(4)(5) [思路点拨]

在利用不等式的性质判断命题结论的真假时，关键是要搞清性质定理的条件与所研究的结论的条件是否一致，如果一致则为真，而不一致的，往往只需举一个反例即可否定这个结论．

[解题过程]

(1)错误．因为当取a＝4，b＝2，c＝6时，有a＞b，c＞b成立，但a＞c不成立．

aa(2)错误．因为a，b符号不确定，所以无法确定＞1是否成立，从而无法确定lg ＞0bb是否成立．

(3)错误．此命题当a，b，c，d均为正数时才正确．

111(4)正确．若a＞b，且a，b同号，所以ab＞0，两边同乘，得＜. abab(5)错误．利用性质4.只有当cd＞0时，结论才成立．

(6)正确．因为c＞d，所以－d＞－c，又a＞b，所以a－d＞b－c. 变式训练2．对于实数a，b，c，有下列命题

①若a>b，则acbc2，则a>b；③若aab>b2；④若c>a>b>0，则ab11>；⑤a>b，>，则a>0，b<0.其中真命题的选项是(

) abc－ac－b

A．②④⑤

C．②③④⑤

B．①③②⑤

D．④⑤

[思路点拨]

在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选取使用不等式的性质．

解析：

①c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc大小缺乏依据，故该命题是假命题．

②由ac2>bc2知c≠0，又c2>0，∴a>b，是真命题．

③

aab，b<0

ab2，

∴a2>ab>b2.故该命题为真命题．

④a>b>0⇒－a<－b⇒c－aa，∴c－a>0，∴0

得>>0. c－ac－bc－ac－bab又a>b>0，∴>. c－ac－b故该命题为真命题．

⑤由已知条件知：a>b⇒a－b>0. b－a1111>⇒－>0⇒>0. ababab∵a－b>0，∴b－a<0.∴ab<0. 又a>b，∴a>0，b<0.故该命题为真命题．

综上可知，命题②③④⑤都是真命题．

要点1:两个数大小的比较

常用作差法与作商法来比较两个数的大小关系．作差法关键是作差变形后能准确地判断符号，常用配方、因式分解、有理化、通分等方法，也可用不等式的基本性质直接比较．作商法常用在幂指数形式的数或代数式中．下表为比较两个数大小的方法比较

作差比较法

作商比较法

乘方比较法

a－b>0⇔a>b

依据

a－b<0⇔a

a－b＝0⇔a＝b

小；

ab>1⇒a>b；a>0b>0a<1b⇒a

a>0b>0

a2>b2a>0⇒a>b

b>0应用

范围

若数(式)的符号不明显，作差后可化为积商的形式

作差比较法

①作差；

同号两数比较大小，或指数式之间比较大小

作商比较法

①作商；

②变形；

③判断商与1的大要比较的两数(式)中有根号

乘方比较法

步骤

②变形；

③判断符号；

④下结论

①乘方；

②用作差法或作商法比较大小

④下结论

要点2:对不等式性质的理解

1．运用不等式的性质时，要注意不要弱化了条件，也不要强化了条件，否则都会得出11错误结论．如：在应用“a＞b，ab＞0⇒＜”这一性质时，有些同学要么是弱化了条件，ab1111写成a＞b⇒＜；要么是强化了条件，写成a＞b＞0⇒＜. abab2．要深入理解不等式的性质，特别要注意有些性质的逆命题是成立的，而有些性质的逆命题是不成立的，即有些不等式性质成立的条件是充分必要的，有些不等式性质成立的条件是充分不必要的．

如：a＞b就是b＜a的充要条件，而对于传递性，由a＞b，且b＞c，可得a＞c；反过来，由a＞c，b＞c不能得到a＞b；同时，由a＞c，a＞b，也不能得到b＞c.因此，a＞b，b＞c是a＞c成立的充分不必要条件．

3．不等式性质的考题要善于抓住形，由形联想性质，解答这类问题的方法不唯一，可正可反，也可举特例，解题时注意灵活应用．

要注意各性质的条件和结论，若交换条件和结论是否依然成立，也就是说要观察每条性质是否具有可逆性．

不等式的性质是不等式同解变形和证明不等式的理论依据，必须理解不等式性质的条件和结论，在应用时小心性质条件是否具备，做到有根有据．

3．不等式性质的考题要善于抓住形，由形联想性质，解答这类问题的方法不唯一，可正可反，也可举特例，解题时注意灵活应用．

要注意各性质的条件和结论，若交换条件和结论是否依然成立，也就是说要观察每条性质是否具有可逆性．

不等式的性质是不等式同解变形和证明不等式的理论依据，必须理解不等式性质的条件和结论，在应用时小心性质条件是否具备，做到有根有据．