相交线课堂实录【1】

7.2相交线

第1课时

教学目标

知识与技能：

理解并掌握对顶角、同位角、内错角、同旁内角的相关定义.

过程与方法：

通过动手操作、推断、交流等活动,进一步发展空间观念,培养识图能力、推理能力和表达能力.

情感态度与价值观：

引导学生对图形进行观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验,树立学习的信心.

教学重难点

【重点】对顶角的性质.

【难点】对顶角相等的性质的探索过程.

教学准备

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

直尺、三角板.

教学过程

新课导入

导入一: 如图所示,直线AB,CD被直线EF所截,交点分别为G,H,观察猜想并思考: (1)图中哪些角是相等的? (2)从位置关系看,哪些角的位置有相同的特点?

[设计意图]

结合学生的观察思考,初步体验“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”等基本角的关系,为学生进行探索留下足够的空间,有利于发挥学生的主动性和积极性.

导入二: 如下图所示,要想测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数(人不能进入围墙内,又不能站在围墙上),有如下的测量方法:延长AO至C,延长BO至D,测得∠COD的度数,可知∠AOB的度数.你知道这样测量的道理吗?

[设计意图]

通过生活实例,初步感受对顶角的性质.同时体会数学的应用价值,增强学习数学的兴趣.

2.

新知构建

[过渡语]

在同一个平面内,两条直线的位置关系只有相交或不相交.在本节中,我们将研究两条直线相交构成的角及与其相关的一些问题.

活动1

认识对顶角

1.在平面上任意画出两条直线,这两条直线的位置关系有几种可能? (两种,相交和不相交.) [设计意图]

本问题不要求学生准确地回答出在同一平面内两条直线的位置关系,要了解本问题的意图是从位置关系的角度观察角.

2.对顶角的含义.

PPT出示教材图7-2-1.

如图所示,两条直线l1,l2相交于点O,形成四个角:∠1,∠2,∠3和∠4.

【思考】

(1)∠1和∠2有没有公共顶点? (2)∠1和∠3有没有公共顶点? (3)∠1和∠2有没有公共边? (4)∠1和∠3有没有公共边? (5)∠1和∠3这两个角在位置关系上有什么特点?

【总结】

∠1和∠3具有公共顶点O,并且两边互为反向延长线.我们把具有这种特殊位置关系的两个角叫做对顶角.

【追问】

(1)图中还有哪些角是对顶角呢? (∠2和∠4也是对顶角.) (2)对顶角的大小有什么关系呢? 活动2

对顶角的性质

如图所示,两条直线l1,l2相交于点O,当一条直线绕点O转动时,∠1和∠3同时增大或同时减小.你能猜想出∠1与∠3的大小关系吗? 【处理方式】

让学生说说对∠1与∠3的大小关系的猜想.

【验证猜想】

方法1:量一量.让学生用量角器量一量.

方法2:剪一剪.把∠1与∠3剪下来,看看能不能完全重合.

方法3:折一折.把∠1与∠3对折在一起,看看两个角能不能完全重合.

方法4说理.

如图所示,已知∠1与∠3是对顶角,那么∠1=∠3.

理由:因为∠1与∠2互补,∠2与∠3互补, 所以∠1=∠3(同角的补角相等).

【总结】

定理:对顶角相等.

[设计意图]

通过对图形中角的位置关系的探究,经历从图形到文字到符号的转化过程,使学生加深对相交概念的理解.积累一些对图形的研究经验和方法.通过对概念的归纳,培养学生的总结概括能

力,加深学生对概念的理解和掌握.在探究发现的基础上,用科学的方法验证或说明自己的发现,这有利于培养学生的科学思维习惯.

活动3

观察与思考

如图所示,一条直线c分别与两条直线a,b相交(也说直线a,b被直线c所截),构成八个角.

(1)观察∠1和∠5的位置关系有什么特点?还有哪对角和它们的关系类似? (∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8.) (2)观察∠3和∠6的位置关系有什么特点?还有哪对角和它们的关系类似? (∠4和∠5.) (3)观察∠3和∠5的位置关系有什么特点?还有哪对角和它们的关系类似? (∠4和∠6.) 【总结】

(1)我们把具有∠1和∠5这样位置关系的一对角叫做同位角.∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8都是同位角.

(2)把具有∠3和∠6这样位置关系的一对角叫做内错角.∠4和∠5也是内错角.

(3)把具有∠3和∠5这样位置关系的一对角叫做同旁内角.∠4和∠6也是同旁内角.

【强调】

引导学生观察三条线形成的八个角中,不共顶点的两个角之间分别具有某种特定的位置关系时,才定义为同位角、内错角、同旁内角.

活动4

做一做

请你在下图的基础上分别画出符合下列各条件的角:

(1)与∠ABC是对顶角.

(2)与∠ABC是同位角.

(3)与∠ABC是内错角.

(4)与∠ABC是同旁内角.

【处理方式】

要让学生独立完成,再通过交流使学生更好地掌握同位角、内错角和同旁内角.

[知识拓展]

(1)对顶角是指两个角的位置关系,具有公共顶点,且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.

(2)对顶角是成对出现的,在数量上有特殊的关系——相等.

(3)两条直线相交所形成的四个角中,任意两个角不是对顶角就是邻补角.

3.课堂小结

1.对顶角的概念:有公共顶点,并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的角,互为对顶角.

2.对顶角的性质:对顶角相等.

3.同位角、内错角、同旁内角的识别.

4.检测反馈

1.下面各图中,∠1与∠2是对顶角的是 (

).

解析:根据对顶角的定义,如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角.因此,只有选项B中的∠1和∠2是对顶角.故选B. 2.如图所示,已知直线a,b被直线c所截,那么∠1的同位角是

(

)

A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5 解析:根据同位角的概念:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两被截直线的同侧,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫做同位角判断.可得∠1的同位角是∠2.故选A.

3.如图所示,∠1的同位角是

;∠1的内错角是

;∠B的同旁内角是

.

解析:准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键是弄清哪两条直线被哪一条直线所截,也就是说,在辨别这些角之前,要弄清哪一条

直线是截线,哪两条直线是被截线.∠1与∠B是直线AD,BC被直线BE所截形成的同位角;∠1与∠D是直线BE,CD被直线AD所截形成的内错角;∠B与∠2是直线AD,BC被直线BE所截形成的同旁内角,∠B与∠C是直线BE,CD被直线BC所截形成的同旁内角.

答案:∠B ∠D ∠2或∠C

4.如图所示,已知直线AB,CD相交于点O,OE,OF为射线,∠AOE=90°,OF平分∠AOC,∠AOF+∠BOD=51°,求∠EOD的度数.

解:因为∠AOC=∠BOD,OF平分∠AOC, 所以∠AOF=∠AOC=∠BOD,

因为∠AOF+∠BOD=51°, 所以∠AOF=17°,∠BOD=34°, 因为∠AOE=90°, 所以∠BOE=180°-∠AOE=90°, 所以∠DOE=90°+34°=124°.

5.板书设计

第1课时

活动1

认识对顶角

活动2

对顶角的性质

活动3

观察与思考

活动4

做一做

6.作业布置

一、教材作业

【必做题】

教材第37页习题A组的第1,2题.

【选做题】

教材第37页习题B组的第1题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.(贺州中考)如图所示,下列各组角中,是对顶角的一组是A.∠1和∠2 B.∠3和∠5 C.∠3和∠4 D.∠1和∠5

(第1题图)

(第2题图)

2.如图所示,下列说法不正确的是 (

) A.∠1与∠2是同位角

B.∠2与∠3是同位角

C.∠1与∠3是同位角

D.∠1与∠4是内错角

) (

3.(吉林中考)图中是对顶角量角器,用它测量角的原理是

.

4.如图所示,能与∠α构成同旁内角的角有

个.

(第4题图)

(第5题图)

5.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,∠AOC=72°COF=90°,求∠EOF的度数.

【能力提升】

6.如图所示,下列判断错误的是

(

) A.∠1与∠2是同旁内角

B.∠3与∠4是内错角

C.∠5与∠6是同旁内角

D.∠5与∠8是同位角

(第6题图) ∠,

教学反思

成功之处

本课时的教学重点是对顶角的性质,教学难点是对顶角性质运用几何语言的表达.在教学中教师能够结合图形让学生通过观察、猜测、分类等方法找到两条直线相交所形成的角的位置关系和数量关系,很好地掌握了对顶角的特征,另外加强对比和反例的说明,对于学生对知识的理解和掌握起到了强化、深入的作用.

不足之处

对个别学生的指导和关注不够,导致部分学习有困难的学生对推理说明的题目掌握不好.在解题过程中出现乱、繁等现象,个别学生甚至无从下手,课后要根据实际情况及时进行补差补缺,让学生继续学习有个良好开端.

第2课时

教学目标

知识与技能

1.会用符号表示两直线垂直,并能借助三角板、直尺画垂线.

2.通过动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质,会进行简单的应用.

3.初步尝试进行简单的推理.

过程与方法

经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动,进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力.

情感态度与价值观

激发学生学习数学的兴趣,体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理,体会数学的抽象性、严谨性.

教学重难点

【重点】会用工具按要求画垂线,掌握垂线(段)的性质.

【难点】从实际生活中感知垂线的性质,体会点到直线的距离的意义,并能用准确的数学语言加以描述.

教学准备

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

三角尺、圆规.

教学过程

1.新课导入

导入一: 体育课上老师是怎样测量跳远成绩的?你能说出其中的道理吗?与同伴交流.

[设计意图]

这里设置一个实际问题,本问题的设置能够很好地锻炼学生的观察、分析、归纳的能力,使数学学习充满了趣味性和挑战性.

导入二: 将两根木条钉在一起(如图(1)所示),固定其中一根木条a,转动木条b,请学生观察:

【问题】

(1)在木条b的转动过程中,什么量也随之发生改变? (2)当a与b所成的角α为90°时,其余各角分别为多少度? 【师生活动】

教师引导学生发现,当a与b所成的角α为90°时,其余各角都为90°,是木条相交中最特殊的一种情况.

【追问】

这时木条a与b有何位置关系呢? 【师生活动】

学生根据小学已学的知识可以知道,此时木条a与b互相垂直,教师揭示课题.

[设计意图]

让学生借助已有的知识发现数学问题,并解决问题,进一步提高对垂直概念的认识.

导入三: 如图所示,要把河中的水引到水池C,在河岸AB的什么地方开始挖渠,才能使水渠的长度最短?

[设计意图]

通过生活情境,引导学生用数学知识思考现实生活中的问题.尽管此时学生利用所学知识尚不能解决此问题,但这同样为学生的学习探索埋下了伏笔.

2.新知建构

[过渡语]

两条直线相交,有着怎样的特殊的关系呢? 活动1

两条直线垂直

如图所示,两条直线AB和CD相交于点O.把直线CD绕点O按逆时针方向转动,当∠BOD=90°时,称直线AB和CD互相垂直,记作“AB⊥CD”,读作“AB垂直于CD”.AB是CD的垂线,CD也是AB的垂线.它们的交点O叫做垂足.

[设计意图]

通过模型的展示让学生认识到垂直是相交的一种特殊情形,使学生对垂直首先有一个感性的认识,进而引入相关的概念.同时通过教师对图形的描述,使学生逐步学习用几何语言描述图形.

活动2

过一点画已知直线的垂线

1.过已知直线上一点,画已知直线的垂线.

已知直线AB及AB上一点C.利用三角尺,可以按如图所示的方法,画出经过点C的AB的垂线.

2.经过直线外一点画已知直线的垂线.

过直线AB外一点D画已知直线AB的垂线,可以用直角三角板来画,具体步骤为: ①贴:将三角板的一条直角边紧贴在已知直线AB上; ②过:使三角板的另一直角边经过已知点D; ③画:沿已知点D所在直角边画出所求的直线.如图所示.

两直线垂直的概念中的核心内容是直角,所以在画垂线时这个直角的位置就显得相当重要了,画错了位置,已知直线的垂线也就画错了.在画垂线时要注意让直角的一边与已知直线重合,而另一边要过已知点(即过此点画已知直线的垂线),在画垂线时要注意只有满足上述条件时,这两条直线才是垂直的.另外要画的已知直线的垂线是一条直线,千万不要画成线段或射线.

【提示】

(1)过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在延长线上.

(2)过一点包括两种情况:①点在直线外;②点在直线上.

【追问】

经过直线l外一点B画l的垂线,这样的垂线能画出几条?

【总结】

基本事实:经过直线上或直线外一点,有且只有一条直线与已知直线垂直.

活动3

点到直线的距离

思路一

如图所示,C是直线AB外一点,且CD⊥AB,垂足为D,即CD是点C到AB的垂线段.再经过点C向直线AB任意引两条线段CE,CF.

1.猜想线段CE,CD,CF中哪一条最短.

(线段CD最短.) 2.验证.

(1)观察.

(2)测量.

(3)说理.以点C为圆心,CD的长为半径画弧,圆弧分别与线段CE,CF相交于点E1,F1,则线段CE1,CD,CF1相等.

【总结】

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.

我们把垂线段CD的长度称为点C到直线AB的距离.

思路二

出示下图,提出问题.

(1)图中哪条线段垂直于直线l? (2)通过观察和测量,线段PO,PA1,PA2,PA3中哪条线段最长? (3)继续比较,PAm和PAm+1哪条线段较长? (4)上述线段都在垂线PO的左侧,在垂线PO的右侧也有这个结论吗? (5)从上述比较中,你发现了什么结论? [设计意图]

首先通过观察帮助学生发现图中的线段长短不一,在此基础上根据测量和生活常识,帮助学生认识“垂线段最短”这个基本事实.

【总结】

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.

垂线段的定义:如图所示,设点P是直线l外一点,PO⊥l,垂足为O.线段PO叫做点P到直线l的垂线段,过点P画线段PA,PB,…交l于A,B,…,因为过点P只有一条直线垂直于l,所以线段PA,PB,…都不与l垂直.我们把不与l垂直的线段PA,PB,…叫做点P到直线l的斜线段.

[知识拓展]

(1)画已知直线的垂线可以画出无数条,但过一点画已知直线的垂线,只能画出一条.

(2)直线外一点到这条直线的垂线段只有一条,而斜线段却有无数条.

(3)画垂线时是实线,此时如需延长线段或反向延长射线,要用虚线延长或反向延长.

3.课堂小结

1.垂线的概念.

当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.

2.垂线的性质.

(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

(2)“有且只有”中,“有”指“存在性”,“只有”指“唯一性”.

(3)“过一点”中的点在直线上或直线外都可以.

4.检测反馈

1.如图所示,三角形ABC中,∠C=90°,AC=3,点P是边BC上的动点,则AP的长不可能是 (

)

A.2.5 B.3 C.4 D.5 解析:根据垂线段最短,可知AP的长不可能小于3.故选A.

2.如图所示,点O在直线AB上,且OC⊥OD.若∠COA=36°,则∠DOB的大小为 (

)

A.36°

B.54°

C.64°

D.72°

解析:首先由OC⊥OD,根据垂直的定义,得出∠COD=90°,然后由平角的定义,知∠AOC+∠COD+∠DOB=180°,从而得出∠DOB=180°-36°-90°=54°.故选B.

(第2题图)

(第3题图)

3.如图所示,已知ON⊥l,OM⊥l,所以OM与ON重合,其理由是

(

) A.过两点只有一条直线

B.经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线

C.两点之间,线段最短

D.垂直的定义

解析:利用“经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”,逐一分析.A、点M,N可以确定一条直线,但不可以确定三点O,M,N都在直线l的垂线上,故本选项错误;B、直线OM,ON都经过同一个点O,且都垂直于l,故本选项正确;C、两点之间,线段最短不能说明OM与ON重

合,故本选项错误;D、垂直的定义是判断两直线垂直关系的,本题已经已知ON⊥l,OM⊥l,故本选项错误.故选B.

4.如图所示,∠1=30°,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O.求∠2,∠3的度数.

解:根据对顶角相等可知∠3=∠1=30°.

又因为AB⊥CD,垂足为O,所以∠BOD=90°.

所以∠2=∠BOD-∠3=90°-30°=60°.

5.板书设计

第2课时

活动1

两条直线垂直

活动2

过一点画已知直线的垂线

活动3

点到直线的距离

6.布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第40页习题A组的第1题.

【选做题】

教材第41页习题B组的第1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,OA⊥OB,若∠1=40°,则∠2的度数是

(

) A.20°

B.40°

C.50°

D.60°

2.两条直线相交形成四个角,下列说法不能判定这两条直线互相垂直的是

(

) A.有一个角是直角

B.有两个角相等

C.对顶角互补

D.邻补角相等

(第1题图)

(第3题图)

3.如图所示,O为直线AB外一点,点C,D,E,F都在直线AB上,则点O到直线AB的距离是 (

) A.线段OC的长度

B.线段OD的长度

C.线段OE的长度

D.线段OF的长度

4.在无风的情况下,一个重物从高空落入池塘,它的运动路线与水面的关系是

.

5.如图所示的是建筑工人用来检验所砌墙面的一种方法,试说明其中的道理.

(第5题图)

(第6题图)

【能力提升】

6.如图所示,点A到直线CD的距离是指

A.线段AC的长

B.线段CD的长

C.线段AD的长

D.线段BD的长

) (