二次函数的一般应用教学设计和教学实录

《25.4.1相似三角形的判定》教案

教学目标

1．能说出三角形相似的判定定理1和直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似的重要结论；

2．会用三角形相似的判定定理1和重要结论来证明有关问题；

3．通过用三角形全等的判定方法类比得出三角形相似的判定方法，使学生进一步领悟类比的思想方法。

4．通过解题的引申练习，培养学生练习后反思的好习惯。

教学重点

理解相似三角形的判定定理1和重要结论

教学难点

相似三角形的判定定理1的应用

教学方法

情境教学法，合作探索教学法

课前准备

三角板、量角器、多媒体设备

课时安排

3课时

教学过程

一、复习旧知识，运用类比的思想方法引导学生提出问题

1．什么叫相似三角形？怎么表示？

（在学生回答完后，教师总结）对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。（注意：三角形相似不一定限定在两个三角形之间，可以是两个以上，但不能是一个。）表示：如果∆ABC与∆A'B'C'相似，则记作∆ABC∽∆A'B'C'. 用数学符号表示：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，且∽∆A'B'C'. 注意：与三角形全等的书写类似，表示对应角的字母顺序需要一样

2．上节课我们还学习了一个判定两三角形相似的定理，哪位同学能说说？

学生回答完之后投影：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交

ABACBC，∴∆ABCA'B'A'C'B'C'

所构成的三角形与原三角形相似.

BDEBCAAEDA

C图（1）D图（2）EB图（3）C 3．除了用定义和上面的定理来判定三角形相似外，还有什么方法可判定两个三角形相似？我们知道判定两个三角形全等的方法有“AAS”、“ASA”、“SAS”、

“SSS”、“HL”等，那么类似地，判定两个三角形相似还有哪些方法？今天我们开始来研究这个问题。

使用‘学乐师生’拍照、录像，收集学生典型成果，在‘授课’系统中展示

（板书课题）。

二、（新课）师生共同解决问题

问题：如图（4）所示，在∆ABC与∆A'B'C'中，若∠A=∠A'，∠B=∠B'，试猜想：∆ABC与∆A'B'C'是否相似？并证明你猜的结论。

BC图（4）B'C'A'A让学生思考讨论，从图形的外观，绝大多数学生会猜这两个三角形相似。结论的证明以教师讲授为主，并引导学生思考：根据题设条件，难于用定义来证明，因为用定义来证明需要的条件较多，所以不妨考虑用定理来证明。为此，需要构造出符合定理条件的图形：在∆ABC中，作BC的平行线，且在∆ABC中截得的三角形与∆A'B'C'又有着非常紧密的联系（全等），这样师生共同分析，完成证明。教师把证明过程投影到屏幕。

证明：在∆ABC 的边AB上截取AD=A'B'，过点D作DE∥BC，交AC于点E，则有

∆ADE∽∆ABC. DEA'A∵∠ADE=∠B，

∠B=∠B'， CB'C'B

∴

∠ADE=∠B'. 又∠A=∠A' ，AD=A'B'，

∴

∆ADE≌

∆A'B'C'. ∴∆ABC ∽

∆A'B'C'. 告诉学生，如图（5）、图（6）这样作辅助线也可以证明这个问题。

A'

EDAB'C'

D图（5）EBC图（6）

最后师生共同归纳，得出结论：（投影）

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两三角形相似．

用数学符号表示这个定理：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴∆ABC∽∆A'B'C'. （让学生说，最后教师板书即投影）

对于三角形来说，有两个角对应相等意味着三个角都对应相等。

三、应用举例，变式练习

例1：已知：∆ABC和∆DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°，求证：∆ABC∽∆DEF. 让学生运用本节学习的定理自己证明，然后教师总结并且把证明过程投影到屏幕。

证明：∵在∆ABC中，∠A=40°，∠B=80°

∴∠C=180°- 40°- 80°=60°

∵在∆DEF中，∠E=80°，∠F=60°

∴∠B=∠E，∠C=∠F ∴∆ABC∽∆DEF（两角对应相等，两三角形相似）. 例2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.

说明：在教师的引导下，先由学生自己作出图形，并写出已知、求证、证明. 然后教师总结并给出解答参考：

CADB图（7）

已知：如图（7），Rt∆ABC中，CD是斜边上的高．

求证：∆ABC∽∆CBD∽∆ACD．

证明：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，∴∆ABC∽∆CBD （两角对应相等，两三角形相似）．同理 ∆ABC∽∆ACD．∴∆ABC∽∆CBD∽∆ACD．

（最后告诉学生，以后可以直接用例2的结论来判定直角三角形相似.）

三、课堂练习（投影）

1.判断题：

(1)两个顶角相等的等腰三角形是相似的三角形。 （ ）

B (2)两个等腰直角三角形是相似三角形。 （ ）

(3)底角相等的两个等腰三角形是相似三角形。 （ ）

(4)两个直角三角形一定是相似三角形。 （ ）

(5)一个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似。 （ ）

(6)有一个角相等的两个直角三角形是相似三角形。 （ ）

(7)有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形。

（ ）

(8)三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似。（ ）

(9)所有的正三角形都相似。 （ ）

(10)两个等腰三角形只要有一个角对应相等就相似. （ ）

3、填空：（填上“不”、“不一定”或“一定”

）

两个等腰三角形都有一个角为45°，这两个等腰三角形_______相似；如果都有一个角为95°，这两个等腰三角形_______相似．

（提问：做完了就完了吗？然后引导学生在练习的过程中，养成反思的好习惯）

四、结论总结

（教师可向学生提问：到目前为止，我们学习了哪些判定三角形相似的方法？然后师生共同总结）到目前为止我们学习了判定三角形相似的方法有：

AA',BB',CC'ABACBC1．定义法

A'B'A'C'B'C'则ABC~A'B'C'2．平行于三角形一边的直线的定理. ∵DE∥BC ∴∆ADE∽∆ABC 3．判定定理1 BADEC

∵∠A=∠A'，∠B=∠B' ∴∆ABC∽∆A'B'C' 4．直角三角形的一个重要结论：

∵∠ACB=90°,CD⊥AB ∴∆ABC∽∆ACD∽∆CBD 五、作业布置

课本第75-76页A组第1、2题；B组第1、2题为选作题

六、板书设计

25.4.1相似三角形的判定

一、导入新课

三、练习

二、例题

四、作业

ADBC