复习参考题教学设计案例

高三复习课

人教A版必修五

基本(均值)不等式及应用

桂平市第三中学

何汉莲

2018年5月23日

教学目标

1．使学生进一步掌握算术平均数与几何平均数的相关知识，能利用均值定理解决相关问题；

2．通过对均值不等式的应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力

和逻辑推理能力． 3．在学习和解决问题的过程中，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探

索的态度，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯，

形成积极探索的研究态度．

重点：基本(均值)不等式及应用

难点：基本(均值)不等式及应用

课堂类型：复习课

教学方法：讲练结合

教学过程

考纲展示

1.了解基本(均值)不等式的证明过程．

2.会用基本(均值)不等式解决简单的求最大(小)值问题．

一、基础回顾

1.基本(均值)不等式abab2(即ab2ab)

(1)基本（均值）不等式成立的条件

a>0，b>0

；

. 等号成立的条件:当且仅当

a＝b

时等号成立. 2．几个重要的不等式

(1)a2b2≥_2ab_______(a，b∈R)．

ba(2)a＋b≥_2_______(a，b同号)．

(3)ab≤

(ab2)

(a，b∈R)．

2a2b2ab2()(a,bR)2(4)2．

3．算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为2，几何平均数为ab，均值不等式可叙

述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

.

....................约4分钟

二、易错问题

1.基本不等式的两个易错点：

①忽视不等式成立的条件；②忽视等号成立的条件．

(1)函数

x1

在区间(0，＋∞)上的最小值是___2_____，

x在区间(－∞，0)上的最大值是__-2______．

(2)函数ysinx4,x(0,]的最小值为sinx2

解析:ysinx当sinx442sinx4,sinxsinx4，即sinx2,显然取不到等号.sinx

4'4t24事实上，令tsinx,x(0,],则t(0,1]yt,y122,2ttt4y'0时，t2，在t(0,1]上y'0,yt在(0,1]上是减函数，t4故当t1时，yt取到最小值5.t.....约9分钟

三、例题讲解

[考情聚焦]

利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个正数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个正数的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容．主要有以下几个命题角度：

角度一

通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值

1[典例1](1)已知0x,求函数yx(13x)的最大值;3

(2)已知x51,求f(x)4x2的最大值.44x5

1解析:(1)0x,13x0.3113x13x21yx(13x)3x(13x)[],332121当且仅当3x13x，即x时，等号成立.611当x时，函数yx(13x)取最大值.612

5（2）因为x＜4，所以5－4x＞0，

11则f(x)＝4x－2＋＝－5－4x＋5－4x＋3≤－2＋3＝1. 4x－51当且仅当5－4x＝，即x＝1时等号成立．

5－4x故f(x)＝4x－2＋

巩固练习

1的最大值为1.

...........................约16分钟

4x－5

1. 知0

............................................................约25分钟

[点石成金]

在利用基本（均值）不等式求最值时，要根据式

子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后

再利用基本（均值）不等式. 角度二

通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值

[典例2]11已知a0,b0,若3是3a和3b的等比中项，求的最小值.ab

解析：解法13是3a和3b的等比中项,3a3b3,ab1.1111baba()(ab)2224ababababba1当且仅当,即ab时，取等号，ab2111当且仅当ab时，取最小值4.2ab

解法2：ab111ababba2224

abababba111即ab时，的最小值为4.ab2ab

.......................约31分钟

[变式练习]191.a0,b0,且1,求ab的最小值.ab

112.已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求1＋a1＋b的最小值..................约39分钟



[点石成金]

将条件灵活变形，利用常数代换法求最值是解决此类问题的常用方法．

四、课堂小结：

利用基本不等式求最值时：

1.必须满足“一正、二定、三

相等”三个条件，并且和为定，积有最大值；积为定值，

和有最小值.

2.在利用基本（均值）不等式求最值时，要根据式

子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后

再利用基本（均值）不等式.

3.将条件灵活变形，利用常数代换法求最值是解决此

类问题的常用方法．

五、课外作业：

1、第117页第2步的跟踪练习题

2、第118页真题演练集训第3题

.......................................约40分钟