阅读与思考 九连环第二课时教学实录

阅读与思考

九连环

徐天顺（成都市航天中学校）

本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）中第二章的第三节“阅读与思考

九连环”（第一课时）．下面笔者从教材分析、学生分析、目标分析、过程分析、板书设计等方面谈谈这一节课的教学设计. 一、教材分析

（一）教材的地位与作用

本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法．

（二）教学重点与难点

根据教材地位与作用以及本节课的内容，本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得．

二、学生分析

在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．

三、教学环境分析

根据教学内容和学生实际情况，确定选择使用多媒体教室. 教师制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器．

四、教学目标分析

（一）知识目标

掌握等差数列前n项和公式及等差数列前n项和公式的推导过程，会简单运用等差数列的前n项和公式．

（二）能力目标

通过对等差数列前n项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法；通过运用公式的过程体会方程的思想和提高类比化归、数形结合的能力；创设由探索1+2+3+……+100的和,推广到探索一般的等差数列前n项和sna1a2a3......an的求和公式的情景,使学生进一步体会从特殊到一般的数学研究方法, 并使学生在反馈练习的过程中，进一步提高问题解决的能力．

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（三）情感目标

结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化．

五、教学过程

教学过程分为创设情景、探究合作、典例讲析、理解应用、课堂小结、作业布置等六个环节. （一）创设情境

首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵．泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？

【设计意图】

用实际生活引入新课．图中蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用，为新课的讲解作铺垫．

【教师活动】

首先认识一位伟大的数学家——高斯，然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+…..+100=？

【学生活动】学生：1+100=101，2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050 （二）探究合作

问题1：图案中从第1层到第51层一共有多少颗宝石？

【学生活动】学生可能出现以下求法：

方法1：原式＝（1＋2＋3＋……＋50）＋51 方法2：原式＝0＋1＋2＋……＋50＋51 方法3：原式＝（1＋2＋…＋25＋27…＋51）＋26 以上方法实际上是用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，应给予肯定与表扬．

【设计意图】

高斯求和众所周知，学生能快速解答，但估计他们对这种方法的认识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性的进一步理解，设计以上求奇数个项和的问题，若简单地摹仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，借此渗透化归思想．

问题2：求图案中从第1层到第n层（1＜n ＜100，n∈N*）共有多少颗宝石？

在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成

平行四边形（多媒体演示）．

【设计意图】

从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，让学生领会从特殊到一般的研究方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进；借助几何图形的直观性，并为倒序相加法的出现提供了一个直接的

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模型．

问题3：利用高斯算法如何求等差数列的前n项和公式？

是否刚好配对成功呢？

方法1：

（1）

n为偶数时：

Sna1ananan1

22

（2）

n为奇数时：

aSna1n1an1an1an11

222

该如何解决落单的an1呢？

2n1(a1an)an1

Sn22Snn(a1an)2n1(a1an)2an1an1222n(a1an)2

n通过对n取值的讨论，得到了前n项和求和公式：

Sn(a1an)

但是对n讨论麻烦了，能否有更好的方法求前n项和公式呢？通过问题2的几何图形的直观性联想到用倒置的思想求等差数列前n项和呢？

方法2：

2

Sna1a2an1anSnanan1a2a1n(a1an)2两式相加得：

Sn2Snn(a1an)

方法3：

同样利用倒序相加求和法，教材做了如下处理：

Sn

a1(a1d)...[a1(n1)d]

a(ad) ...Sn 

[an(n1)d]nn

两式相加得：

2Snn(a1an)

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公式1：Snn(a1an)2

引导学生带入等差数列的通项公式，换掉

a

n

整理得到公式2：Snna1n(n1)d

2【设计意图】

这里用到了等差数列脚标和性质

从高斯算法出发，对n进行讨论寻找求和公式思路自an1然，学生容易想到．对中间项2的解决办法的过程中，进一步让学生体会研究数列就是对脚标数学的研究．倒序相加求和法是重要的数学思想，为以后数列求和的学习做好了铺垫．在等差数列前n项和公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”

的过程

（三）典例讲析

例1：计算

（1）123n

（2）1352n1

（3）2462n

（4）1234562n12n

【设计意图】

通过动画演示给(1),(2)问一个直观的解释．学生自己阅读教材并领会如何运用求和公式．

24

例2 已知等差数列5，4,3，…

77求：(1)数列｛an｝的通项公式；(2)数列｛an｝的前几项和为(3) Sn的最大值为多少？并求出此时相应的n的值．

【设计意图】

通项公式与求和公式中共有125？

7a1、d、n、an、sn五个基本元素，如果已知其中三个，就可求其余两个，主要是训练学生的方程思想．第（3）小题是让学生初步接触用函数观点解决数列问题，为以后函数与数列的综合打下基础．

（四）理解应用

练习1

等差数列-10，-6，-2，2，

…前多少项的和为54？

练习2

已知等差数列｛an｝的前10项和是310，前20项的和是1220，求前n项和Sn

在等差数列{an}中练习3 (1)已知:a2a5a12a1536,求S16

(2)已知：a620,求S11[设计意图]

分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，练习3的（2）主要考察了对公式一的整体应用．根据课堂时间，本题作为备选练习，可留给学生课后完成．

（五）课堂小结

（1）公式1:Snn(n1)n(a1an)d，

，公式2:Snna122通项公式ana1(n1)d．公式中一共含有五个量，根据三个公式之间的联系，由

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方程的思想，知三可求二．

（2）

将求和公式与梯形面积公式建立联系，而梯形面积公式的推导也正是利用了倒置的思想．同样将公式2与梯形面积公式建立联系．用“割”的思想将梯形分做一个平行四边形和一个三角形，而梯形面积就是这两部分面积之和．

（3）

体会倒序相加的算法，掌握等差数列的两个求和公式，领会方程思想和从特殊到一般的研究方法；

【设计意图】本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究方法；体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想；掌握等差数列的两个求和公式及简单应用．

（六）布置作业

1.课本P46习题2.3，第1题（1）、（3），第2题（3）（4），第5、6题

2.探索题

数列{1}的前n项和

11111n(n+1)Sn12233445n(n1)研究一下，能否找到求Sn的一个公式．你能对这个问题做一些推广吗？

（1）求数列1n(nk)的前n项和Sn；（2）若公差为d(d≠0）的等差数列{an}中，求：1111

Sna1a2a2a3a3a4anan1【设计意图】及时巩固本节课所学的知识，初步运用课本知识解决一些关于等差数列两个求和公式简单应用的问题；

另外2做为探究题组为不同层次的学生留下思考的空间．

六、板书设计

§2.3 等差数列前n项和

一、等差数列前n项和

四、典例讲析 五

课堂小结

二、公式的推导

方法1：

方法

2：

方法3：

三、剖析公式

六

布置作业

公式1：

2：

公式

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