1.3 实习作业第二课时教案

解三角形教学设计

[理解定理] 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

asinAbsinBcsinC

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，bksinB，cksinC；

（2）asinAbsinBcsinC等价于asinAbsinB，csinCbsinB，asinAcsinC

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如absinA；

sinB②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析] 例题 .在ABC中,已知a解:asinB。

b3, b2, B=450.求A、C和c. B450900

且

ba, A有两解. asinB3sin450300由正弦定理,得sinA A60或A120

b22bsinC1)

当A=60时,C=180-A-B=75, csinB0000002sin750sin45062

262

2bsinC2sin1502)

当A=120时,C=180-A-B=15, csinBsin450练习：1)ABC中,c 2) ABC中,c6,A450,a23,求B、C、b. 6,A450,a2,求B、C、b. 3）已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c

小结（由学生归纳总结）

（1）定理的表示形式：asinAbsinBcsinCabckk0；

sinAsinBsinC或aksinA，bksinB，cksinC(k0)

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

课题: §1.1.2余弦定理 授课类型：新授课

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[理解定理] 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即

a2b2c22bccosA b2a2c22accosB c2a2b22abcosC

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2c2a2a2c2b2b2a2c2， cosB， cosC

cosA2bc2ac2ba从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

0222（由学生总结）若ABC中，C=90，则cosC0，这时cab

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

[例题分析]

例1．在ABC中，已知a23，c62，B60，求b及A 0222⑴解：∵bac2accosB=(23)2(62)2223(62)cos45

0=12(62)243(31)=8 ∴b22.

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b2c2a2(22)2(62)2(23)21⑵解法一：∵cosA,

∴A600.

2bc2222(62)a23sin450,

解法二：∵sinAsinBb22又∵62＞2.41.43.8, 23＜21.83.6,

000∴a＜c，即0＜A＜90, ∴A60.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

2220练习：在ABC中，若abcbc，求角A（答案：A=120）

小结：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论

授课类型：新授课

●教学过程

[探索研究] b,A，讨论三角形解的情况

例1．在ABC中，已知a,分析：先由sinBbsinAasinC0可进一步求出B；则C180(AB)，从而c

aA1．当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。

2．当A为锐角时，

2

如果a≥b，那么只有一解；

如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若absinA，则有两解；（2）若absinA，则只有一解；（3）若absinA，则无解。

（以上解答过程详见课本第9-10页）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

练习: （1）在ABC中，已知a80，b100，A45，试判断此三角形的解的情况。

0（2）在ABC中，若a1，，c2

1C400，则符合题意的b的值有_____个。

（3）在ABC中，axcm，b2cm，B450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2x22）

利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状

例2．根据所给条件,判断ABC的形状. 1）在ABC中，已知a7，b5，c3。2）acosAbcosB; 3）abc

cosAcosBcosCa2b2c2A是直角ABC是直角三角形222分析：由余弦定理可知abcA是钝角ABC是钝角三角形

a2b2c2A是锐角ABC是锐角三角形（注意：A是锐角ABC是锐角三角形）

1）解：725232，即a2b2c2，∴ABC是钝角三角形。

b2c2a2a2c2b2acosAbcosBa()b()一(化边) 2bc2ac由余弦定理得 2）解: 解法a2c2a4b2c2b40, (a2b2)(c2a2b2)0

a2b20 或c2a2b20a2b2c2 或ab 故ABC是直角三角形或等腰三角形

解法二(化角)由acosAbcosB;可得2RsinAcosA2RsinBcosB

00 即sin2Asin2B 2A2B或2A2B180,即AB或A+B=90故ABC是直角三角形或等腰三角形

csinAcsinB, b sinCsinCcsinAcsinBcsinAsinBsinC代入已知等式得, 

cosAsinCcosBsinCcosCcosAcosBcosC3）解：(化角)解法一: 由正弦定理得a 即tanAtanBtanC A,B,C(0,) ABC 故ABC是等边三角形

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