1.3 实习作业教学教案设计

高三理科数学高考二轮专题复习

———解三角形中的最值问题

一．考纲说明：

解三角形是历年高考的必考内容，对知识与能力的要求是掌握，而解三角形中的最值问题是高考的热点，关于最大值、最小值、结果的取值范围等问题属于难点问题，常与函数的最值与值域、不等式、平面几何知识等结合。

二．知识梳理

1.正弦定理

内容

正弦定理

abc2R

sinAsinBsinC

解决问题

(1)

已知两角和一边

(2)

已知两边和其中一边的对角(侧重求角) (3)

求三角形外接圆

（R为外接圆半径）

常见变形

(1)a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC(1)

边化角

abc

(2)sinA,sinB,sinC(2)

角化边

2R2R2R(3)a:b:csinA:sinB:sinC(3)

边的比与角正弦比的互化

2.余弦定理

余弦定理

解决问题

(1)已知两边和它们的夹角

(2)已知两边和其中一边的对角(侧重求边) (3)已知三边

b2c2a2a2c2b2cosA;cosB;2bc2ac

222变形

abccosC;2ab内容

a2b2c22bccosAb2a2c22accosB

c2a2b22abcosC常见(1)

角化边

(2)

边化角

111absinC=acsinB=bcsinA 2224.重要不等式、基本不等式及其变形：

3.

三角形面积公式S=

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a2b2ab2ab,ab222abab2ab,ab

22三．典例分析

例1.（2016北京理15）在△ABC中，a2c2b22ac. （1）求B的大小；（2）求2cosAcosC的最大值.

变式：求sinAsin2C的取值范围.

例2.(2014·江苏理14改变)若△ABC的内角满足sinAsinB2sinC，则cosC的最小值是________．

方法归纳：解三角形中最值问题的策略：

1.

利用三角函数的有界性法

2.

利用二次函数法

3. 利用不等式法

例3（2014 新课标1理16）已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，a2，inAsinBc且2bsbsinC，则△ABC面积的最大值为

.

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变式1.求ABC周长的取值范围.

变式2.把题干中的ABC改为锐角ABC，求ABC周长的取值范围.

方法归纳：

例3和变式1求三角形面积、周长的取值范围用了不等式法较为简洁，变式2求锐角三角形周长取值范围用了三角函数的有界性法，属于精细化的解法。所以我们在遇到这类问题时要明确目标正确选择解题方法，以免解错或用了繁琐的方法。

例4.等腰ABC中，ABAC,BD为边AC上的中线，且BD3，则ABC的面积的最大值为

.

方法归纳：利用图形找到函数关系。

四．课堂总结：

解决三角形中的最值问题的策略：

（1）利用三角函数的有界性法、二次函数法解决最值问题，本质是将待求量表示为某个量的三角函数、二次函数来求解。

（2）利用不等式法解决最值问题，本质是将待求量看作一个整体，构建整体的不等式来求解。

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五．课后作业：

1.（2015湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，abtanA，且B为钝角. （1）证明：BA

2.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且3a－2csin A＝0.

（1）求角C 的大小；（2）若

c＝2，求ab的最大值．

3.（2013新课标2）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB. （1）求B；

（2）若b=2,求△ABC面积的最大值.

π；（2）求sinAsinC的取值范围. 2fxsinxcosxcos2x4. 4.

（2015山东）设（1）求fx的单调区间；

Af0B，C的对边分别为a，b，c. 若2（2）在锐角△ABC中，角A，，a1，求△ABC面积的最大值.

c，b，5..已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，若a1，

2cosCc2b，则△ABC的周长的最大值

.

6.如图，在ABC中，B30,AC5,D是边AB上一点.求ABC的面积的最大值.

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