阅读与思考 海伦和秦九韶教学目标

1.2 应用举例

☆教学目标☆

1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常

用的测量相关术语； 2.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号 表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力. ☆学习重点☆

1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常

用的测量相关术语； 2.理解有关角的概念，能够运用正弦定理、余弦定理解决有关角度、高度的问题。

☆学习难点☆

1.理解题意，设计方案进行测量，把实际问题转化为数学模型进行计算；

2.理解有关角的概念，应用空间想象能力，把有关角度、高度的问题转化为数学模型进行计算。

☆基础回扣☆

1．基础回扣

(1)仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线

叫仰角，目标视线在水平视线

叫俯角(如图①)．

(2)方位角

指从

方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

(3)方向角

相对于某一正方向的水平角(如图③)称为方向角．北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向；北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向；

南偏西等其他方向角类似．

1

(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．

问题探究：如何用方位角、方向角确定一点的位置？

提示：利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．

2．三角形的面积公式

S＝aha＝bhb＝chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高) 111 ＝absin C＝bc ＝ sin B. 222（1）

上方、下方

（2）北方

☆问题探讨与解题研究☆

类型一 运用正、余弦定理解决速度问题

【例1】如图1所示，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里；当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 海里．求乙船的速度．

【分析】根据已知条件判断A1A2B2的性质．先计算A1A2与A1A2B2的大小，可以发现△A1A2B2是等边三角形．在A1B2B1中，求B1B2的长度，最后求乙船的速度．

1212122

【小结】

解决航海中的速度问题先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角．通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理；(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．

【练习】

如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

【解】

由题意知AB＝5(3＋3)海里，

∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，

∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°. DBAB在△ABD中，由正弦定理，得＝，

sin ∠DABsin ∠ADBAB·sin ∠DAB53＋3·sin

45°∴DB＝＝

sin

105°sin ∠ADB＝53＋3·sin

45°533＋1＝

sin

45°cos

60°＋cos

45°sin

60°3＋12

＝103(海里)．

3

又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，

1在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×2＝900，

30∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝＝1(小时)．

30故救援船到达D点需要1小时．

类型二、

测量距离问题

【例2】

如图4所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．

【分析】分清已知和未知条件，将问题集中到一个三角形中，

运用正、余弦定理求解．

【小结】这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．

注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．

【练习】如图5，为了计算渭河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点．现测得AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236)．

即两景点B与C之间的距离约为113 m.[来源:学科网]

4

类型三、测量高度问题

【例3】

如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.

【解】

如图，设CD＝x m，

则AE＝x－20 m，

tan 60°＝CD，

BD

CDx3∴BD＝＝＝x (m)．

tan 60°33在△AEC中，x－20＝3x，

3解得x＝10(3＋3) m．故山高CD为10(3＋3) m.

【练习】如图7所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.

类型四 有关三角形的面积

5

π

【例4】

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝. 3(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；

(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．

【分析】(1)联合三角形面积公式和余弦定理解方程组，求两边长a，b.(2)由已知等式求边、角或其关系，由角和边再求面积．

【小结】有关三角形面积的问题，一类是求面积，另一类是利用三角形面积求其他值．不论源:Z.xx.k.Com]

哪种形式的面积问题，都需要借助正、余弦定理去解决．

【练习】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，

B＝π43，cos A＝5，b＝3. (1)求sin C的值；(2)求△ABC的面积．

6 [来

☆当堂检测☆

1．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是

(

) A．α，a，b

C．a，b，γ

B．α，β，a

D．α，β，b

D同B类似．

解析：选A选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项2．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC等于

A．10°

C．120°

B．50°

D．130°

(

) 解析：选D由已知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，

∴∠BAC＝60°＋70°＝130°.

3．为了测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距40 m的楼顶处测得塔底A的俯角为30°，测得塔顶B的仰角为45°，那么塔AB的高度是(

)[来源:Zxxk.Com]

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A.40(13)m B．20(22)m C.40(13)m D．60m[来源:Zxxk.Com]

3

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a－b＝3bc，sin C＝23sin B，则A等于(

) A．30° B．60° C．120° D．150°

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☆课堂小结☆

正、余弦定理在实际生产生活中，有着广泛应用，常见题有距离、高度、角度问题以及求平面图形的面积等.在解这类问题时，首先应明确各术语的含义，分析题意，分清已知与所求，找出各量之间的关系，再根据题意正确画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型问题，这是最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点，最后将结果还原为实际问题的解.

☆课后作业☆

课本p20页习题1.2A组9、10、11

[来源:学。科。网]

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