小结课时教案

参评设计

数列求和的教学设计

无锡市八士中学

华秋艳

教学目的：

能够利用“公式法”（等差，等比数列的前n项和公式，自然数的方幂和公式），“分解求和法”，“裂项求和法”等通项化归求和的常用方法，求一些特殊数列的和。

教学难点：运用化归思想分析问题和解决问题。

教学过程：

一、复习提问：

师：说出等差数列的前n项和公式？

生：snn(a1a2)n(n1)d （教师板书）

， snna1

22师：说出等比数列的前n项和公式？ a1anqna1(1qn)生：sn(q1) , sn(q1) (教师板书) 1q1q师：条件q=1时，前n项和怎样计算？

生：Sn=na1

二、讲解新课：

师：今天我们将继续学习数列的求和问题。

（板书课题：数列求和）

下面请同学们先看例1。（出示投影）

111例1（1）求和：

(x)(x22)(xnn)(x0,x1,y1)

yyy（新教材P127，例3）

1372n1

（2）求和：

n

2482师：请同学们观察（1）是否是等差数列或等比数列？

（估计学生会用等差，等比数列的定义来判断）

- 1 -

生：否。

师：既然不是等差数列，也不是等比数列，那么就不能直接用等差，等比数列的求和公式，请同学们仔细观察一下此数列有何特征？

生：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和。

（1）当x≠0, x≠1, y≠1时

111

原式=(xx2xn)(2n)

yyy11(1)x(1xn)yxxn1yn1yn

=

n1n11x1xyy1y（以上化简过程，实际上是繁分式的化简应强调结果的完整）

师：题中附加条件去掉，应该如何考虑？请同学们课后思考。

师：下面我们一起来研究（2）由上题启发，对于一个数列的一项可分成若干项，使其重新组合

成等差或等比，那么本小题又是怎样来解呢？

（学生相互讨论，老师巡视，启发学生）

师：我们可否通过对通项进行变形呢？从而转化为等差或等比数列？ 2k111生：(2) ak令k=1，2，3，……n 2k2k则：a111111

,

a212,

a313, an1n

22221111原式（1）（12）（13）（1n)222211

(1n)111112n1n(23n)n2122222n12[引导学生自己归纳解法特点，养成学生解题后思考的良好习惯] 师：这类数列的求和法叫分解求和法，基本方法是根据数列的通项公式，将原数列分解为两个

- 2 -

或两个以上的基本数列，然后再分别求和， 例2（1）求和：

1111

122334n(n1)

（2）求和：

1111

132435n(n2)师：将各项分母通分，显然是行不通的，能否通过通项的特点，将每一项拆成两项的差，使它

们之间能互相抵消许多。

生：（1）

ak式= 111

令k=1，2，3，… n ，所以原k(k1)kk11111111(1)()()()22334nn11111111

122334nn11n1nn1师：请看第（2）小题，此题形式与第（1）小题相仿，哪位同学能大胆地试一试。

生：（2）ak1111()（此步骤一开始学生会仿照上题将k(k2)2kk21，经启发可2通项裂开，未考虑到令k=1，2，3，… n

系数得出）

11111111)]

则原式=[(1)()()(232435nn211111111)

=(1232435nn2

（做到此处，学生会发现与上题不同，互相抵消的项不在前后项，此时，教师应耐心地分析各项间的关系，可以假设n=6, n=7时的情形，得出一般规律）

- 3 -

原式11113113n25n=(1

)22n1n242(n1)2(n2)4(n1)(n2)师：这类数列求和的方法叫裂项相消求和法，基本方法是把数列各项拆成两项的差，使求和时

中间各项相互抵消。

[上例中，两个小题贯彻由浅入深的原则] [讲完一个例题后，将例题引伸是教学中常做的一件事，它可以使学生的认识得到“升华”，发展学生的思维，并起到触类旁通，举一反三的效果] 11的前n项和。

，123123n（启发学生，根据例1、例2的方法解决）

师：例1、例2我们都是对通项进行分解而得到解决。那么例3是否也可用同样的方法呢？例3 中的通项是什么呢？

例3：求数列：1，，生：

ak112112(),k1,2n

123kk(k1)kk1111

12123123n1111111)

=2(1)2()2()2(22334nn1111111112n)1(1)=2(1

22334nn1n1n1师：在求数列的前n项和时，往往需要先将通项公式进行变形，然后再求和。

例4：已知数列[an]的前n项和为Sn=n2+2n，求和：

1111

a1a2a2a3an1ananan1师：由例3可知，此题也应把通项公式求出来，才能解决问题，请同学们考虑，通项公式的求法。（稍作停止，让学生回忆求通项的方法）

生：当n≥2时, an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]

=n2+2n-(n2-2n+1+2n-2)

=2n+1 - 4 -

a1=S1=12+2·1=3 满足上式. ∴[an]的通项公式为an= =2n+1 师：很好！那么有了数列的通项公式，这个问题就可以解决了。

生：原式=111

3557(2n1)(2n3)1111111)]

=[()()(235572n12n31111111)

=(235572n12n3111n)

=(

232n33(2n3)三、小结归纳： 师：非等差（比）的特殊数列求和法。

1、设法转化为等差数列或等比数列，这一思考方法往往通过通项分解法来完成。

2、不能转化为等差（比）的特殊数列，往往通过裂项相消法求和。

四、课堂练习： 11111、求和：

123[n()n]

24822、求和：

(a1)(a22)(ann)(a1)

3、求和：

111

1335(2n1)(2n1)4、数列[an]的前n项和为Sn=n2, 求111

a1a2a2a3an1an

（以上练习完全与例题相仿，对所学知识加以巩固）

五、作业： 1、求数列：1，1+2，1+2+3，…（1+2+3+…+n）…的前n项的和。

2、求数列：1，1+2，1+2+22，…,(1+2+22+…+2n-1)…的前n项的和。

- 5 -

3、求数列：1，1+a, 1+a+a2, …(1++a+a2+…+an-1)…的前n项的和. 4、求数列：9，99，999，9999，……的前n项和。

教案说明

（1）本节课的教学内容在现行高中新教材中，所占篇幅极小，只通过一个例题,一个练习，一个习题反映这一内容，但其重要性却不容忽视，首先如等差数列前N项和公式的是用“逆序相加法”，等比数列的前N项和公式的推导是用“错位相减法”。这些求和的方法本身在教材中有所体现，只是没有系统安排，其次，在实际应用中，会经常碰到非等差（等比）数列的求和问题，此外，对今后学习数列的极限打好基础。

（2）一节课的素材虽然准备得很充分，但若搭配布局安排不当，就可能降低学生对所教内容的理解水平，不能充分发挥教材在培养学生思维品质方面的作用，因此，在设计教案时应重视一节课各部分，各环节间相互联系的功能所形成的最佳结构。本节课是非等差（等比）的特殊数列求和的第一节课，安排了四个例题，四个课堂练习和四个课外作业题，例题和习题的安排上贯彻了由浅入深的原则，例1是用“分解求和法”来解的，例2是“裂项求和法”解题，这两种方法都用了通项化归的数学思想方法，例3、例4是在例1、例2的基础上作了一些引伸。在有了通项化归这种思想后，例3、例4就显得很容易了，此外课堂练习，基本与例题相仿，作为巩固练习。而作业题中，有一点难度，让学生课余进行思考。

（3）利用课堂教学的机会，有意识地将数学研究的某些思想方法渗透到教学过程中，课堂教学不能单纯传授知识，应在传授知识的同时注重能力的培养、在上述思想的指导下，这堂课的教学过程中，每个例题都让学生体会到通项化归的思想方法。

（4）提高课堂教学的实效，加快学生的思维节秦，不拖泥带水，该说的话，要说到点上，要说透，能少说的，就决不多说，尽量挤出时间让学生多练。在讲解例题时，重点不是讲怎样解，而是讲为什么这样解，从而达到会解一类题，提高创新思维的能力。

- 6 -