小结教学实录与评析

一、教学目标：

简单的线性规划

1、

知识目标：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．

2、

能力目标：培养学生观察，联想以及作图的能力，渗透化归，数形结合的数学思想；

3、

情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。

二、重点难点：理解在二元一次不等式所表示的平面区域内求最值是教学重点；如何把握渗透线性规划这种数形结合思想方法用来解题是教学难点．

三、教学方法：变式教学，通过一道题或者尽量少的题目来实现教学目标

四、教学手段：采用多媒体辅助教学。

五、教学设计过程

【新课引入】

我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．

【线性规划】

【例1】先讨论下面的问题

设

，式中变量x、y满足下列条件

①

求z的最大值和最小值．

（设计意图：让学生初步了解线性规划解题方式）

分析：把z2xy稍作变形为y2xz，作出一组平行直线，所以z的变化体现在纵截距的变化。作一条斜率为－2的直线，当此直线平移时，发现当直线过A点时，纵截距最大，即z值最大，过B点时截距最小，即z值最小。所以求出A,B坐标，代入目标函数：

在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．

是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于

又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数

在线性约束条件①下的最大值和最小值问题，一般来说线性目标函数在线性约束条件下的最值都在平面区域边界处取得。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解

叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．

【变式1】在上面的约束条件下，求z=x＋5y的最大值和最小值。

（设计意图：让学生注意各直线的斜率关系，最优解在何处取得与各直线的斜率有非常大的关系，学会以最快的速度找准最优解所在的点，关键是比较目标函数的斜率和约束条件各直线所在斜率的大小，由各直线的倾斜程度来确定目标函数最值的取得点。）

【变式2】在上述约束条件下，求z=3x＋5y的最大值和最小值。

（设计意图：掌握最优解有可能不只一个的情况。）

【变式3】在上面的可行域中，求

z=x－y的最值。

（设计意图：让学生明白什么目标函数的最大（小）值取得的情况并非永远和纵截距取得最大（小）值的情况一致。当y的系数为负数时，截距取最大值时，线性目标函数取最小值；截距取最小值时，线性目标函数取最大值。）

通过这些例子讲清楚线性规划的步骤，即：

第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；

第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；

第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．

【例2】在上面的线性约束条件下，求z

y的最值。

x（设计意图：让学生明白，约束条件和目标函数的形式不是唯一线性的，也可能有其他形式，如此题的目标函数就是非线性的，其几何意义是直线的斜率，重在把握线性规划问题数形结合这样一种解法。）

（设计意图和例2相同，让学生更进一步体会数形结合解题的一种思想精髓，本题的突出目标函数的几何意义和距离有关。）

【总结】解线性规划问题的实质所在是数形结合，首先要能够根据约束条件画出可行域（不一定是线性的），其次要观察挖掘目标函数或与目标函数有关的式子的几何意义，然后再用几何方法来解代数问题。

六、教学反思

本节课的重点是如何解决线性规划问题，而用二元一次不等式表示平面区域是前一节课的重点，所以本节课所有问题都采用同一个可行域，在此前提下，不断地变换目标函数使学

生会解各种各样的线性甚至非线性规划问题。