阅读与思考 海伦和秦九韶优质课教案

课题

设计人

教材

分

析

内容分析

地位与作用

《余弦定理》教学设计

蔡凤敏

单位

鹤壁市高中

《余弦定理》在新课标人教A版高中数学必修五第一章第一大节第二小节，《正弦定理》之后，余弦定理是关于任意三角形边角关系的两个重要定理之一，是勾股定理的拓展，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量长度、高度、角度等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了“边”和“角”的互化，从而使“三角”与“几何”有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。

教材首先以一个探究引发学生思考：把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，即如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和另两个角？接着用向量法推导出余弦定理，并得出推论，后又通过让学生思考三角形三边平方之间的关系得出“余弦定理可以看作是勾股定理的推广”这一结论。

余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量。从已知三角形的三边确定三角形的角，这就是余弦定理的推论，也可以说是余弦定理的第二种形式。

应用余弦定理及其推论，并结合正弦定理，可以解决的解三角

形问题有：

（1）已知两边和它们的夹角解三角形；

（2）已知三角形的三边解三角形。

例3属于问题（1），且对学生的能力提出要求“能利用计算器解决斜三角形的计算问题”；例4属于问题（2）.

学情分析

在学习本节课之前，学生已经学习了正弦定理、三角函数和向量的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在教学过程中可以引导学生从向量角度量化三角形的边和角，边可以联想到向量的模，角可以联想到向量的夹角，从而想到数量积，而对一个线性向量等式两边平方则可以产生数量积，水到渠成。

另外，本节课的公式较多，部分学生将不能快速掌握，为使学生快速记忆并灵活应用公式，教师应帮助学生分析公式特点，并安排一定时间背公式.

知识掌握余弦定理的三组表示形式及证明余弦定理的向量方法，理解余弦定理的本质，并会运用余弦定理解决几类基本的解三角形问题。

引导学生用向量方法推导余弦定理，体会用向量作为数形结合的工

具，将几何问题转化为代数问题的基本思想；

通过引导学生推导余弦定理，发现公式的结构特点，在背诵公式和应用公式中充分调动学生的学习热情，在‘发现公式’-“了解公式”-“记忆公式”-“应用公式”的过程中培养学生的应用意识，竞争意识，动手能力，调动了学生所有感官器官，符合认知规律。

教目标

学目标

能力目标

情感目标

教

学重点

重点与难点

难点

掌握余弦定理的三种表示形式及证明余弦定理的向量方法；

能灵活运用余弦定理解决解三角形问题；

本着以学生为主题，“提出问题”→“分析问题”→“解决问题”的思路，流程如下：

复习回顾→问题导入→确定学习目标→研究教材、推导余弦定理→公式结构特点分析→背诵公式→公式应用、题型分类→效果检验、课堂检测→归纳总结

①多媒体教学、学案探究教学相结合；

②公式推导等重要细节板书演示；

③小组讨论与代表演示相结合；

教教学学方法

方法与

手教学段

手段

教师生活动

学教学内容展示

教学设计

意图

过程

复习回顾：

师：“正弦定理的内容是什么？常见变形有哪些”学生集体回答

巩固旧知，为新知做准备，

问题导入：

师：“请同学们阅读教材探究，思考两个问题已知三角形的两边和夹角如何求第三边？已知三角形的三边如何求三个内角？”学生阅读教材并思考。

提出问题

明确目标，确定努力方向

确定学习目标：

师：“同学们，如图，在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，设研究教材，推导公式

CBa,CAb,ABc，则c?如何用a,b表示？”

生：“cab”

师：“两边平方后会得到什么，试一试！

”

学生在下面尝试，最后推得余弦定

理。

c2a2b22abcosC

师生共同分析公式的结构特点，并乘机给出另外两个公式：

a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

并给出两组推论：

师：“同学们，我们现在开始读、背公式，大家有三分钟的记忆时间，接下来我们小组进行比赛，要求正确、快速！”

磨刀不误砍柴工，公式在

心中，学生在运用时可以信手拈来！

师：接下来使我们用余弦定理解决问题的时间，主要涉及到两种题型，大家请看大屏幕！

例1.

在ABC中，角A,B,C所

对的边分别是a,b,c，若

b2,c1,A60，求a?

例2. 在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若a3,b7,c2，则B（

）

A.30

B.45

C.60

D.120

例3.在ABC中，若b3,c3,B30，解此三角形. 例4.在ABC中，若，则角a2c2b23acB______

例5.

例5.在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是（

）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形例6.在锐角ABC中，角A,B,C的

对边分别是a,b,c，若ba6cosC，abtanCtanC_________. tanAtanB则例7.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若三角形面积S满足a2b2c234S，则角C______. 老师用多媒体展示例题及题型，

同学们结合学案积极解答！

在学生解答过程中，老师在每道题中都要求学生回答用了哪组公式，师生共同重复公式，以达到当堂反复记忆的目的，符合科学记忆法！

例3这道题，教师让学生先在学案上写，然后让学生尝试不同解法，引导学生分别用正弦定理和余弦定理题，并让两位学生写在黑板上展示。

例4主要是考察学生对第三组公式的掌握情况，老师在该题之后引导学生总结其他情形。

效果检测

学生学习效果如何，检测一下就知道了。最好的检测方式就是当堂测试，

总共设置了3道检测题，前两道较容易，可以让学生获得成功的喜悦，减少在数学上的挫败感，每题5分；第三道稍难，10分，一题多解，可以激发学生探索、研究数学的兴趣与热情，并让这种热情持续到课下，让越来越多的学生参与数学知识的讨论。

1.

在ABC中，sinA:sinB:sinC2:3:10，则cosC______？

2.已知锐角三角形的边长分别为2,4,x，则x的取值范围是（

）

A. 1x5

B. 5x13

C. 1x25

D.23x25

3.在ABC中，AB7,AC6,M为BC的中点，且AM4,则BC(

) A.21

B.106

C.69

D.154

课后作业

教学反思

《高考调研》余弦定理的第一课时，

《课时作业》余弦定理的第一课时；

1.

学生学习的热情很高，很容易就推导出余弦定理公式，大部分同学都能熟练背出公式，在使用公式时也能很快速的正确选择合适的公式，只是极个别同学反应稍慢，不能流畅的说出公式，解决方案：要求学生把公式写在便利贴上，贴在书桌上有空就背背，在下一节课课前提问，并把它写在黑板上最左侧部分；

2.

在解决例3时，发现学生计算能力差，分类讨论时过程不完整，解决方案：在今后教学过程中多给学生独立计算的时间，分析学生计算难在何处，做示范性引导，至于过程不完整可以在学生做题前先分析做题思路，在学生做题过程中把关键步骤细化，专门挑出来放大处理，同类题目反复做，典型题目反复做，易错知识反复改！

3.

我在设计教案时，推导余弦定理只用了教材上的向量法，突出公式的结构特点及运用，不能满足学生对推导公式多样化需求，解决方案：把其他方法打印到A4纸张上贴在班里，并让学生在晚自习前20分钟讲解！