复习参考题第二课时教案

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数学

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必修五 第三章一元二次不等式及其解法 预习教案

知识目标：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；

能力目标：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和教学目标

逻辑思维能力；

情感态度价值观：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想。

教学过程

教师活动

学生活动

1.判断对错

①若ab,则ac2bc2；

②若ac2bc2,则ab；

3.已知ab0，cd0，e0，求证：

ee．

acbd

熟练掌握一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系

（一）

一元二次不等式及其解法

1）一元二次不等式的定义

像x25x0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式

1．一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系；

2．分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中，分母要不为零；

3．高次不等式要注重对重因式的处理．

主要方法：

1．解一元二次不等式通常先将不等式化为ax2bxc0或，ax2bxc0 (a0)的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话）再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；

2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理；

3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解．

2) 解一元二次不等式的步骤：

①

将二次项系数化为“+”：A=ax2bxc>0(或<0)(a>0) ②

计算判别式，分析不等式的解的情况：

若A0，则xx1或x2；ⅰ.>0时，求根x1

若A0，则x1xx2.若A0，则xx0的一切实数；ⅱ.=0时，求根x1＝x2＝x0，若A0，则x；

若A0，则xx.0若A0，则xR；ⅲ.<0时，方程无解，若A0，则x.

③

写出解集. 小结：

1一元一次不等式、一元二次不等的求解要正确、熟练、迅速，这是解分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式的基础

带等号的

分式不等式求解时，要注意分母不等于0，二次函数yax2bxc的值恒大于0的条件是a0且0；若恒大于或等于0，则a0且0若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形

2忽略对定义域的考虑以及变形过程的不等价，是解无理不等式的常见错误，因此要强化对转化的依据的思考

3

数形结合起来考虑，可以简化解题过程，特别是填空、选择题，还可利用图形验证，解题的结果

4解指数、对数不等式的过程中常用到换元法底数是参数时，须不重不漏地分类讨论化同底是解不等式的前提取对数也是解指数、对数不等式的常用方法之一，在取对数过程中，特别要注意必须考虑变量的取值范围当所取对数的底数是字母时，随时要把“不等号是否变向”这一问题斟酌再三

5．解含参数的不等式时，必须要注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论分类的标准要通过理解题意（例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件），根据方法（例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变化的参数值），按照解答的需要（例如进行不等式变形时必须具备的变形条件）等方面来决定，要求做到不重复、不遗漏

解不等式是不等式研究的主要内容，许多数学中的问题都可以转化为一个解不等式的问题，如函数的定义域、值域、最值和参数的取值范围，以及二次方程根的分布等因此解不等式在数学中有着极其重要的地位，是高考的必考内容之一

【题型一、求解一元二次不等式】

【例1】x2x60

【方法技巧】任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：

ax2bxc0,(a0)或ax2bxc0,(a0)

（l）抛物线

yax2bxc（a> 0）与

x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程

ax2bxc=0的判别式b24ac三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论

（2）a<0可以转化为a>0 分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式ax2bxc>0与ax2bxc<0的解集

一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解集：

设相应的一元二次方程ax2bxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b24ac，

0

0

0

二次函数

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集

x1,x2(x1x2)

有两相等实根

bx1x2

2a无实根

xxx或xx

12bxx

2a

R



xx1xx2



【题型二、二次方程的根与二次函数的零点之间的关系】

【例2】探究一元二次不等式x25x0的解集

【方法技巧】求一元二次不等式的解集实际要先求出一元二次方程等于0时的解集，即二次函数与X轴的交点，二次方程的有两个实数根：x10,x25二次函数有两个零点：x10,x25

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点.

【题型三、分式不等式的解法】

【例3】x(x1)(x2)0

(x2)(x1)

【方法技巧】主要采用序轴标根法，但是注意分母不能为0

【题型四、含参数的不等式】

【例4】若不等式kx2-2x+1-k<0对满足2k2的所有k都成立，求x的取值范围

【方法技巧】原不等式可化为(x21)k(2x1)0

设f(k)(x21)k(2x1)

(2k2)，是关于k的单调函数，

根据题意有：

222x2x30f(2)2(x1)(2x1)0，即2

22x2x10f(2)2(x1)(2x1)0用换元、分离变量的方法在不等式的求解过程中比较常出现，也是解决含参数问题的重要方法

【题型五、解无理数不等式】

【例5】解不等式：（1）x33x

【方法技巧】原不等式与不等式组

3x0x3(3x)，或

2x303x0同解，

一个无理不等式转化为两个不等式组还是转人为一个不等式组，这是解无理不等式的一个基本问题问题中的第一个不等式组中可省去x30，问题的结果可从函数y让学x3和y3x的图象上看出，生学会用图象法解不等式

【题型六、解指数、对数不等式】

【例6】解不等式log1[a4x2a2x(a1)x(a1)2x1]0,(a0)

2

【方法技巧】解指数、对数不等式的过程中常用到换元法底数是参数时，须不重不漏地分类讨论化同底是解不等式的前提取对数也是解指数、对数不等式的常用方法之一，在取对数过程中，特别要注意必须考虑变量的取值范围当所取对数的底数是字母时，随时要把“不等号是否变向”这一问题斟酌再三

a4x2a2x(a1)x(a1)2x1>1,

a4x2a2x(a1)x(a1)2x>0, a2a212xa22a2110, xxa2∴

a2121

a215①当

0<<1，即0

a212原不等式的解为xloga2a21(21);

②当a>15时，解集为{x|xloga2(21)}; 2a2115时，解集为R

2③当a=

【题型七、不等式解实际问题】

【例7】.某文具店购买了一批新型台灯，若按每盏灯15元的价格销售，

每天能卖30盏灯，若价格每提高1元，日销售量则减少2盏，为了这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样定制这批台灯的价格？

【方法技巧】根据题意准确写出不等关系式

1.设集合x1x2，xxa0，若，那么实数a的取值范围是（ ）

A．1, B．2, C．,2 D．1,

2.若不等式x2mx10的解集为R，则m的取值范围是（ ）

A．R B．2,2 C．,2

2, D．2,2

13.设一元二次不等式ax2bx10的解集为x1x，则ab的值是3（ ）

A．6

B．5 C．6 D．5

4.不等式x2ax12a20a0的解集是（ ）

A．3a,4a B．4a,3a C．3,4 D．2a,6a

115.不等式ax2bx20的解集是xx，则ab（ ）

23A．14 B．14 C．10 D．10

16.不等式22x26x9x23x1912的解集是（ ）

A．1,10 B．,1

10, C．R D．,110,

7.不等式x12x0的解集是（ ）

A．x1x2 B．x1x2 D．xx1或x2 C．xx1或x2

8.不等式ax2bxca0的解集为，那么（ ）

A．a0，0 B．a0，0

C．a0，0

D．a0，0

9.设fxx2bx1，且f1f3，则fx0的解集是（ ）

A．,1

3, B．R C．xx1 D．xx1

10.不等式x25x60的解集是______________________________．

411.k1x26x80的解集是xx2或x，则k_________．

5

12.已知不等式x2pxq0的解集是x3x2，则pq________．

1113.已知不等式ax2bx20的解集为xx，求a、b的值．

23

14.已知集合xx290，xx24x30，求，．

15.若关于m的不等式mx2(2m1)xm10的解集为空集，求m的取值范围.

