阅读与思考 海伦和秦九韶优秀教案范文

《秦九韶算法》教学设计

一、教学内容概述

本节课内容是《普通高中新课程标准实验教科书·数学》人教版必修三第一章第三节第二课时的内容，是在学生学习了算法的概念、程序框图、基本逻辑结构、基本算法语句等内容的基础上学习的，旨在让学生进一步理解算法思想、熟练程序框图的画法、练习三种逻辑结构、熟悉程序语言的编写。是继上节课学习了算法案例的案例一之后，继续学习的算法案例二，学生在学习中国古代数学中的算法案例二时,进一步体会算法的特点。学习了秦九韶算法之后，能使许多复杂的算法简单化，减少计算次数提高计算效率。

本节课的教学重点和难点

重点：秦九韶算法的特点及其程序设计

（理解秦九韶算法的思想。）

难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计

（用循环结构表示算法步骤。）

二、学习目标分析

1.知识与技能目标：

了解秦九韶算法的计算过程，秦九韶算法的特点、程序框图和程序语言。并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。

2.过程与方法目标：

模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。先从特殊的多项式求值方法体现降幂可以简化计算，然后给出两种一般的求多项式的值的方法，引导学生探究这两种方法需要的次数，然后引导学生与秦九韶方法比较发现秦九韶方法的优越性，进而引出“秦九韶算法”的概念，然后引导学生探究出蕴含在其中的算法思想，让学生编写算法，画程序框图，写程序语言，并在计算机上验算。在教学过程中教师指导，学生探究，讲练结合。

3.情感,态度和价值观目标

通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久，同时让学生体验民族数学成就感和荣誉感，培养学生分工合作意识，提高学习数学的热情。

三、学习者特征分析

（1）本节课的授课对象本校高一年普通班学生，学生在逻辑思维、动手推理、分工合作、学习态度等方面存在较大差异，因此在教学过程中要注意分散内容难点、注意激发学生的积极性。

（2）现在的学生计算能力较差，习惯于借助计算器计算，对于算法语言的教学还是比较有兴趣。

四、教学策略与方法分析

1.教学方法：充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，采用启发式，并遵循循序渐进的教学原则。通过从特殊到一般的数学思想，让学生掌握从现象到本质，从已知到未知逐步形成概念的学习方法，有利于发展学生抽象思维能力和逻辑推理能力。

2.教学手段：通过各种教学媒体(计算机)调动学生参与课堂教学的主动性与积极性。

五、教学过程

教学过程是教法和学法的具体实践过程，根据教材的特点和学生实际情况，设计采用“分析算法—画程序框图—上机尝试”的模式，安排以下五个环节以完成本节教学：

一、创设问题引入新课

问题1：计算出下列各式的值

（1） （2） （3）

设计意图：因式分解起到降次的作用。

问题2：计算出下列各代数式的值

（1）当x=99时， （2）当x=19时， 设计意图：让学生体会降次会给计算带来简便

问题3：用两种方法求多项式较它们的算法次数

算法1： 算法2： 传统的计算方法共需要10次乘法运算，5次加法运算。

采用降次计算当次乘法运算。

设计意图：比较两种算法再次体会降次可以减少计算次数，简化计算。

二、解决问题研探新知

问题4：怎样求一般的多项式时的值？

当时的值仅需5次乘法和5次加法运算即可得出结果。显然少了5，

当时的值。并比

求 的值时，

即

则 要求值只需要做n次乘法，n次加法。这种算法是由南宋大数学家秦九韶在他的

《数书九章》中首先介绍，我们把这种计算方法叫做秦九韶算法。

介绍南宋大数学家秦九韶

秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、

朱世杰并称宋元数学四大家。主要成就:1247年完成了数学名著《数学九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法

。

美国著名科学史家萨顿说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。

秦九韶算法的特点、作用和数学思想

1.秦九韶算法的特点：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。

2.秦九韶算法的作用：解决了运算次数的问题，大大减少了乘法运算的次数，提高了运算效率。

3.秦九韶算法体现的数学思想：把高次转化为一次的化归思想方法。算法具有通用的特点，可以解决一类问题。

三、应用举例深化算法

例1 已知一个5次多项式为式当 思考：

在利用秦九韶算法计算n次多项式当法计算？

设计意图：当某项系数为0时要注意的问题，同时加强对秦九韶算法的理解。

练习：已知5次多项式 另外可以用列表法简化计算过程

，求当x=5时f(x)的值。

时需要多少次乘法计算和多少次加时的值。

用秦九韶算法求这个多项

例2 设计利用秦九韶算法计算n次多项式

当程序语言。

时的值的程序框图及

第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数 第二步：将v的值初始化为 第三步：输入i次项的系数 第四步： ,

和的值

,将i的值初始化为n-1 第五步：判断i是否大于或等于0,若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值v. 程序框图

程序语言

思考：上述循环结构属于哪种结构？（当型）课后请同学们用另一种循环结构（直到型）画出程序框图并编写程序语言。

四、巩固提高上机验算

练习：设计求5次多项式的算法语言，并进行上机验证。

，当x=5时f(x)的值

设计意图：通过上机验算让学生体会算法的优越性

五、归纳小结延伸拓展

1 、通过对秦九韶算法的学习，你对算法本身有哪些进一步的认识？

（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题; （2）解决一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应该选择高效的算法。

2、

秦九韶算法的特点及揭示的算法思想。

通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。把高次转化为一次的化归思想方法。

3、作业布置：

（1）课本第47页练习2、第50页习题1.3 A组第2题，B组第2题。

（2）请同学们用另一种循环结构画出秦九韶算法的程序框图并编写程序语言。

（3）（选做）探究课本第47页内容完成习题1.3 A组第4题

4、板书设计：

1.3秦九韶算法

1、秦九韶算法的特点及步骤

设计思想：本节课的设计遵循了教学的基本原则；注重了对学生思维的发展；重视探究、重视交流、重视过程；体现了“学思结合﹑学用结合﹑学习动机与意志品质结合”，将对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用。

附：

2、例题

练习展示

秦九韶生平简介：

秦九韶（公元1202－1261），字道古，安岳人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。 秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。他在政务之余，对数学进行虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。 宋淳祜四至七年（1244至1247），他在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。这

不仅在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设计中，也起到了重要作用，被称为“中国剩余定理”。他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。现在，世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。秦九韶在数学方面的研究成果，比英国数学家取得的成果要早800多年。

安岳修建的秦九韶纪念馆，恢宏壮观，雄伟气派。

秦九韶的数学成就及对世界数学的贡献主要表现在以下方面： 1、秦九韶的《数书九章》是一部划时代的巨著 秦九韶潜心研究数学多年，在湖州守孝三年，所写成的世界数学名著《数学九章》，《癸辛杂识续集》称作《数学大略》，《永乐大典》称作《数学九章》。全书九章十八卷，九章九类：“大衍类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”，每类9题（9问）共计81题（81问），该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积，钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。该书著述方式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分组成：“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，给出答案；“术曰”，阐述解题原理与步骤；“草曰”，给出详细的解题过程。此书已为国内外科学史界公认的一部世界数学名著。此书不仅代表着当时中国数学的先进水平，也标志着中世纪世界数学的最高水平。我国数学史家梁宗巨评价道：“秦九韶的《数书九章》（1247年）是一部划时代的巨著，内容丰富，精湛绝伦。特别是大衍求一术（不定方程的中国独特解法）及高次代数方程的数值解法，在世界数学史上占有崇高的地位。那时欧洲漫长的黑夜犹未结

束，中国人的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。” 2、秦九韶的“大衍求一术”，领先高斯554年，被康托尔称为“最幸运的天才” 秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯（Gauss，1777―1855年）建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶不仅为中国赢得无尚荣誉，也为世界数学作出了杰出贡献。 3、秦九韶的任意次方程的数值解领先霍纳572年 秦九韶在《数书九章》中除“大衍求一术”外，还创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，也是中世纪世界数学的最高成就，秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳（W?G?Horner，1786―1837年）的同样解法早572年。秦九韶的正负方术，列算式时，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。

此外，秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致；同时秦九韶又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。在欧洲最早是1559年布丢（Buteo，约1490―1570年，法国）给出的，他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年，且理论上的不完整也逊于秦九韶。

秦九韶还创用了“三斜求积术”等，给出了已知三角形三边求三角形面积公式，与海伦（Heron，公元50年前后）公式完全一致。秦九韶还给出一些经验常数，如筑土问题中的“坚三穿四壤五，粟率五十，墙法半之”等，即使对现在仍有现实意义。秦九韶还在十八卷77问“推计互易”中给出了配分比例和连锁比例的混合命题的巧妙且一般的运算方法，至今仍有意义.