小结优质课教学设计

课题: §3.4基本不等式ab授课类型：复习课

【课标要求】

1．理解并掌握基本不等式及变形应用．

ab复习

2 2．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题． 【教学目标】

1．知识与技能：学会利用基本不等式求最值。

2．过程与方法：通过例题体会使用基本不等式求最值的过程。

【教学重点】利用基本不等式求最值．

【教学难点】利用基本不等式求最值时的变形转化． 【教学过程】

1、研读课标要求和本堂课的目标、重难点，让学生明确任务和目标。

2、知识点梳理：

（1）基本不等式abab2，其中a>0,b>0，当且仅当a=b时取”=”

变形：

,

（2）两正数积为定值和有最小值，和为定值积有最大值．

（3）利用基本不等式求最值的关键：一正、二定、三相等

3、在利用基本不等式求最值时若不满足

“一正、二定、三相等”。我们如何处理？

（1）“一正” 4例1、求 x<0时y＝x＋的最大值（教师引导学生一起解决，教师板x

书阶段过程）

解：当x<0时，

=-4，当且仅当

，即x=-2，时取等号．

4∴函数y＝x＋(x<0)在x＝-2时取得最大值-4. x总结：使用基本不等式时，代数式中各项必须都是正数，如两个都是负数，则要进行转化。

（2）”二定”：两式和或积是定值。

例2．(1)设0

(2)已知x>2，求x＋4的最小值；

x－219(3)已知x>0，y>0，且

＋＝1，求x＋y的最小值．

xy（学生按学习小组分组研究解决，各小组选派组员上台讲评。教师参与小组活动，及时纠错、强调关键，规范解题书写过程）

3解

：

(1)∵00，

2x＋3－2x9∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝. 223当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立

4∵34∈0，32. ∴函数y＝4x(3－2x)(02，∴x－2>0，

∴

4当且仅当

，即x＝4时，等号成立．所以x＋的最小值 x－2为6. 19(3) ∵x>0，y>0，＋＝1，

xy19y9x

∴x＋y＝＋(x＋y)＝＋＋10≥2

＋10＝2

+10=16，

xyxy

＝

时，即x＝4，y＝12时，上式取等号．

当且仅当

＋

＝

总结：寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧。) 变式练习2（抽三位学生上台解答，其余学生在练习本上完成，教师进行评判）

12 (1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；

x4(2)已知x< 3，求f(x)＝＋x的最大值；

x－3(3)设x>0，y>0，且x＋4y＝2xy，求x＋y的最小值．

12解

(1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2 x12·3x＝12，

x12当且仅当3x＝，即x＝2时取等号．∴f(x)的最小值为12. x

(2)∵x<3，∴x－3<0.

44∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3 x－3x－34＋3－x＋3≤－2 ＝－3－x43－x3－x＋3 ＝－1，

4当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号．

3－x

（3）由x＋4y＝2xy及x>0，y>0，得+

.

∴x＋y＝(x＋y)

+)

＝(

)

=

，即

时取“=”当且仅当

．

∴x＋y的最小值是.

（3）、“三相等”: 例3、求函数

，x

的值域。（教师演示利用基本不等式

求解过程，引导学生发现此题中“=”取不到，从而得出:在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的。)

p问：如何解决？（借助函数y＝x＋(p>0)的单调性求解）

x正解：

,,

在(2, )上为增函数，

= .

值域为（， ）

总结：使用基本不等式时必须要求出“=”成立的条件，若“=”成立

的条件取不到，则要利用双勾函数单调性进行研究。

变式练习3．下列各函数中，最小值为2的是





(

)．

π11A．y＝x＋x

B．y＝sin x＋sin x，x∈0，2

x2＋31C．y＝2

D．y＝x＋

xx＋24.课时小结：

本节课，我们复习了利用重要不等式求最值，利用基本不等式求最值的关键是：一正、二定、三相等。

5.课后评价设计：

双基达标

1．若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是

(

)．

11A.≤4

x＋yC.xy≥2

11B.x＋y≥1 1D.xy≥1 (

)．

D．a

2．若0

1A.2

B．a2＋b2

C．2ab

13．设a>2，则a＋的最小值是________．

a－24．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．

255．已知x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，求x＋y的最小值．

综合提高116．设a>0，b>0.若3是3与3的等比中项，则a＋b的最小值为

(

)．

ab

A．8

B．4

C．1

1D.4

7．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是

(

)．

C．7 m

D．7.2 m A．6.5 m

B．6.8 m

8．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．

9．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直12线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n>0，则m＋n的最小值为________．

x2＋6x＋110．求函数y＝2的值域．

x＋111．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？

(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费购地总费用用＝) 建筑总面积