信息技术应用 估计√2的值教学实录与评析

等差数列

对于一个数列{ an }，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差为公差,记为

d ；从第一项

a1到第n项

an的总和，记为Sn

。

那么

，

通项公式为

，其求法很重要，利用了“叠加原理”的思想：

将以上

n-1 个式子相加，

便会接连消去很多相关

的项

，最终等式左边余下an ,而右边则余下a1和

n-1 个d,如此便得到上述通项公式。

此外，

数列前

n 项的和

此，不再复述。

值得说明的是，

，其具体推导方式较简单，可用以上类似的叠加的方法，也可以采取迭代的方法，在，也即，前n项的和Sn

除以

n 后，便得到一个以a1

为首项，以

d /2 为公差的新数列，利用这一特点可以使很多涉及Sn的数列问题迎刃而解。

等比数列

对于一个数列

{an}，如果任意相邻两项之商（即二者的比）为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比

q ；从第一项a1

到第n项an

的总和，记为Tn

。

那么，

通项公式为

(即a1

乘以q 的

（n-1)次方，其推导为“连乘原理”的思想：

a2=a1 * q, a3= a2 * q, a4= a3 * q, ```````` an=an-1 * q, 将以上(n-1)项相乘，左右消去相应项后，左边余下an , 右边余下a1和(n-1)个q的乘积，也即得到了所述通项公式。

此外，

当q=1时

该数列的前n项和

=

当q≠1时

该数列前n 项的和

一阶数列

编辑

概念

不妨将数列递推公式中同时含有an

和an+1的情况称为一阶数列，显然，等差数列的递推式为

an=an-1 + d , 而等比数列的递推式为

an =an-1 * q ；

这二者可看作是一阶数列的特例。故可定义一阶递归数列形式为：

an+1 = A *an + B ········☉

, 其中A和B 为常系数。那么，等差数列就是A=1 的特例，而等比数列就是B=0 的特例。

思路

基本思路与方法：

复合变形为基本数列（等差与等比）模型

；

叠加消元

；连乘消元

思路一：

原式复合

（

等比形式）

可令an+1 - ζ = A * (an - ζ )········①

是原式☉变形后的形式，即再采用待定系数的方式求出

ζ 的值，

整理①式

后得an+1 = A*an

+ ζ - A*ζ , 这个式子与原式对比可得，

ζ - A*ζ = B

即解出

ζ = B / (1-A) 回代后，令

bn =an - ζ ,那么①式就化为bn+1 =A*bn , 即化为了一个以（a1 - ζ )为首项，以A为公比的等比数列，可求出bn的通项公式，进而求出

{an} 的通项公式。

思路二：

消元复合（消去B）

由

an+1 = A *an + B ········☉

有

an = A* an-1 +B ··········◎

☉式减去◎式可得

an+1 - an = A *（

an - an-1）······③

令bn = an+1 - an

后，

③式变为bn = A*bn-1

等比数列，可求出bn

的通项公式，接下来得到

an - an-1 =

(其中

为关于n的函数）的式子，

进而使用叠加方法可求出

an

二阶数列

编辑

概念

类比一阶递归数列概念，不妨定义同时含有an+2

、an+1、an的递推式为二阶数列，而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难度大了。为方便变形，可以先如此诠释二阶数列的简单形式：

an+2 = A * an+1 +B * an , （

同样，A，B常系数）

思路

基本思路类似于一阶，只不过，在复合时要注意观察待定系数和相应的项

原式复合：

令

原式变形后为这种形式

an+2 - ψ * an+1 = ω (an+1 - ψ * an) 将该式与原式对比

，可得

ψ + ω = A 且

-（ψ*ω）= B 通过解这两式可得出

ψ与ω的值，

令bn = an+1 - ψ*an , 原式就变为bn+1

= ω *bn

等比数列，可求出bn

通项公式bn= f (n) ，

即得到

an+1 - ψ*an = f (n) (其中f(n) 为关于n的函数), 而这个式子恰复合了一阶数列的定义，即只含有an+1和an

两个数列变项，从而实现了“降阶”，化“二阶”为“一阶”，进而求解。

常见类型

编辑

累加法

递推公式为

，且f(n)可以求和

例：数列{an}，满足a1=1/2，an+1 = an + 1/(4n2-1)，求{an}通项公式

解：an+1 = an + 1/(4n2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2

∴an = a1 +（1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1)）

∴an = 1/2+1/2 (1-1/(2n-1) )=

累乘法

递推公式为

且f(n)可求积

例：数列{an }满足

解：

，且a1=4，求an

an = 2n(n+1)

构造法

将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列

1. 适当的进行运算变形

例：{an} 中，a1=3且

an+1 = an2, 求an

解：ln an+1= ln an2 = 2 ln an

∴{ln an}是等比数列，其中公比q = 2，首项为ln3 ∴ln an = (2n-1) ln3 故

2. 倒数变换法（适用于an+1 = A*an / (B*an + C),其中，A、B、C∈R）

例：{an}中，a1=1，an+1 = an / ( 2an + 1 ) 解：1 / an+1 = ( 2an+1 ) / an = 1/an +2 ∴{1/an}是等差数列，首项是1，公差是2 ∴an = 1 / (2n-1) 3. 待定系数法

A.递推式为an+1 = p*an + q（p，q为常数），可以构造递推数列{an + x}为

以p为公比的等比数列，

即an+1 + x=p*(an+x)，其中

x = q / (p-1) （或者可以把设定的式子拆开，等于原式子）

例：{an}中a1=1，an+1 = 3an+4,求an

解：an+1 + 2 = 3(an+2)

∴{an+2}是等比数列

首项是3，公比是3 ∴an = 3n - 2 B.递推公式为an+1 = p*an + qn（p，q是常数）

常规变形，将两边同时除以qn+1

得到an+1 / qn+1 = (p / q)*( an/qn)+1/q 再令bn = an / qn, 可以得到bn+1 = k*bn + m（其中k=p/q , m=1/q）

之后就用上面A中提到的方法来解决

C.递推公式为an+2 = p*an+1+q*an,（p，q是常数）

可以令an+2 =x2 , an+1 = x , an = 1 解出x1和x2，可以得到两个式子

an+1 - x1 * an = x2 * (an - x1 * an-1) an+1 - x2 * an =x1* (an - x2* an-1) 然后，两式子相减，左边可以得出来

（k为系数）

右边就用等比数列的方法得出来

例：{an}中，a1=1, a2=2, an+2 = (2/3)an+1=(1/3) an

解：x2 = 2x/3 = 1/3 x1=1,x2=-1/3 可以得到方程组

an+1 - an = - (1/3)* (an - an-1) an+1 +(1/3)* an = an + (1/3)*an-1

解得an = 7/4 - 3/4×(-1/3)^(n-1) D.递推式an+1 = p* an + an +b（a，b，p是常数）

可以变形为an+1 + xn+1 +y = p*(an + xn + y) 然后和原式子比较，可以得出x，y，

即可以得到{an+xn+y}是个

以p为公比的等比数列

例：{an}中，a1=4，

an=3an-1 + 2n-1 (n≥2)

解：原式= an + n+1= 3 [an-1 + (n-1)+1] ∴{an+n+1}为等比数列，q=3，首项是6 ∴an = 2×3n - n - 1 4. 特征根法

递推式为an+1 = (A*an+B) / (C*an+D) （A，B，C，D是常数）

令an+1 = an = x,原式则为x = (Ax+B) / (Cx+D) (1)若解得相同的实数根x0，则可以构造数列{1/(an-x0)}为等差数列

例：{an}满足a1 = 2，an+1 = (2an-1)/(4an+6),求an

解：x = (2x-1) / (4x+6) 解得x0 = - 1/2 1/(an+1/2)=1/[(2an-1-1)/(4an-1+6) +1/2]=1/[an-1 + 1/2] +1

∴{1/(an + 1/2)}是等差数列，d=1，首项是2/5 ∴an=5/(5n-3) -1/2 (2)若解得两个相异实根x1,x2,则构造{(an - x1)/(an - x2)}为等比数列（x1,x2的位置没有顺序，可以调换）

例：{an}满足a1 = 2，an+1 = (an+2)/(2an+1) 解：由题可得(an-1)/(an+1)=-1/3 [an-1 - 1]/[an-1 + 1] 则{(an-1)/(an+1)}是等比数列，q=-1/3，首项是1/3 ∴an = [1 + (-1)n-1 (1/3)n] / [1 - (-1)n-1 (1/3)n] (3)如果没有实数根，那么这个数列可能是周期数列

例：{an}中，a1 = 2,满足an+1 = an-1 / an (n≥2)

解：a1 = 2 , a2 = 1/2 , a3 = -1 , a4 = 2 , a5 = 1/2 ……

所以an = 2（n MOD 3 = 1），1/2（n MOD3 = 1），－1（n MOD 3 = 0）

（准确的应该是有大括号像分段函数那样表示，但是这里无法显示）

连加相减

例：{an}满足a₁+ 2a₂+ 3a₃+……+ nan = n(n+1)(n+2) 解：令bn = a₁+ 2a₂+ 3a₃+……+ nan = n(n+1)(n+2) nan = bn - bn-1 = n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1) ∴an = 3（n+1） [1]