2.2.2 反证法第二课时教学设计

贵州省纳雍县第一中学“一师一优”晒课教学设计

“反证法教学设计”教学设计

课题名称

科目

数学

2.2.2 反证法

课型

新授课

课时

3课时（第一课时）

设计人

王昊

一、教材内容分析

本课是人教A版数学选修1—2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”第二课时的内容，是反证法部分。

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。

证明一般包括直接证明与间接证明。“直接证明”的两种基本方法是综合法和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法，但是反证法的应用需要逆向思维，这是学生学习的一个难点。所以，本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建立应用反证法的感觉。

二、学习者特征分析

本节内容在初中就有接触，在高中数学选修1-1第一章常用逻辑用语也、选修1-2第一章独立性检验也有接触。反证法的逻辑结构并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的。

所教学生是文科普通班，数学思维一般，对于反证法证明简单命题问题不大。但由于反证法涉及内容广泛，学生对知识遗忘太多，所以解决这个问题还是困难重重。

三、教学目标

知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。

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四、教学重点难点

重点：体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，

难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。

五、教学方法

以探究式教学法为主。引导探究，提高学生的参与度，让学生亲身体验知识的形成过程，在教学过程中师生互动，小组讨论，合作交流。在故事情景中引导学生思考反证法证明方式，以问题串方式建构知识生成。

六、学习方法

以自主探究、合作交流为主，师生互动、生生互动。

七、教具准备

多媒体课件、导学案、板书工具。

八、教学过程

教学

过程

教师活动

学生活动

设计意图

小故事：路边苦李

王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路通过阅读故事初步边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取体验反证法思想，导入1. 情景创设

果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什读小故事，思考故事中么不去摘？

蕴含推理方式。

王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦使学生保持良好、积极李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李. 的情感体验。

王戎是怎么知道李子是苦的呢? 他运用了怎样的推理方法? 学生的求知欲、探索欲，新课。此环节旨在提升

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思考1：在直角三角形中，若∠C为直角，则∠B只能为锐角，为什么？

思考2：将9个球定义：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证分别染成红色或白色.那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你通过对这两个个问题的解答，学生自主探究反证法的概念。

通过认识一些常见否定形式，为反证法第一步做基础。

明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。

能证明这个结论吗? 准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，写出下列结论的反面情况：

（1）x是负数； （2）a>b；

（3）在一个三角形中，至少有一个内角小

自主探究、合作交流。

能用自己语言表述出反证法概念。

2. 合作探究

于或等于60°。

下面是一些常见的结论的否定形式. 原词语

等于

大于

都是

原词语 对所有x,成立

至少有一个 至多有一个

不大于

不都是

否定词

否定词

不等于

存在某个x，不成立

一个也没有

至少有两个

自主或交流讨论完成。

3

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例1、求证：2,3,5不可能成等差数列．

证明：（反证法）

假设2

，3

，5成等差数列，

则由等差数列性质有23=2+5 即 5=210 两边平方得 25=40 矛盾通过例题，掌握反证法的证明数学问题的书面表达，了解反证法证题的基本步骤，让学3. 典例剖析

两边平方得 12=7+210

学生思考，交流意见。

形成规范书面表达。

生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程。

所以假设错误 不可能成等差数列”成立。

所以原命题“2

，3

，5

4. 归纳步骤

交流讨论，形成共识，培养学生善于归纳、总结解题策略，养成良好书面表达。

解题习惯。

根据以上问题让学生归纳反证法证明的常见问 1.已知x,y0,且xy2,1x1y试证,中至少有一个小于2.yx题.和应用反证法的关学生思考，互相交流。

键，强化学生反证法基解决问题。

本证明思维训练，体会某些数学问题证明“正难则反”的数学思维方式。

5. 当堂检测

同学们，学了这节课，你们有何体会？

由学生总结本节课的收6. 反思 ---德国数学家希尔伯特说，

禁止数学家使用反证法，

知识点：

思想方法：

获，充分发挥学生思维参与的主动性和创造性。

收获

就象禁止拳击家使用拳头。

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趣味数学

7. 课外课本44页A组3 A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？

让学生体会学数学的乐趣，感受数学魅力。

作业

九、板书设计

2.2.2

反证法

例1、求证：等差数列．2,3,5不可能成

反证法的一般步骤：

．

（由学生代表完成）

投影

1.已知x,y0,且xy2,1x1y试证,中至少有一个小于2.yx（由学生代表完成）

十、教学反思

1、本课就新课程理念下完成教学的课堂模式，做了一些探索。以问题解决为中心，通过提出问题，完善问题，解决问题，拓展问题，采用实验探究、自主学习的研究性学习方式，重点放在反证法的思想上，努力挖掘反证法中蕴涵的思维价值，培养学生的逆向思维能力。

2、通过教学活动，可以看到学生积极性能充分调动起来，在探究概念、典例剖析和归纳步骤阶段基本能自主完成，这基本达到了预期的教学效果。但在当堂检测阶段有少部分学生因不会处理反证法中如何推导矛盾而导致解决不了问题，另外教师对课堂教学时间的把握还是有所不到位，导致后面解决问题时间有些仓促。

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