阅读与思考 科学发现中的推理教学设计模板

2.1.1合情推理——归纳推理

东莞市第十高级中学

马秀兰

一、内容和内容解析

1．内容：《合情推理——归纳推理》是人教A版新课标高中数学选修1-2第二章推理与证明的第一节合情推理第1课时的归纳推理. 本节内容是合情推理，包括归纳推理与类比推理，计划分两个课时完成，第1课时主要学习归纳推理；第2课时主要学习类比推理. 本节课为第1课时．

2．内容解析：本节课主要通过介绍数学史上的哥德巴赫猜想的提出过程，引入归纳推理的概念，归纳推理常与其它知识点结合考查，故本节课将众多题型进行梳理，归纳出五种题型，每一题型设置成一个例题一个练习的形式，巩固学生对归纳推理的理解与应用。 本节为后续学习证明起着铺垫作用，它常与数列、不等式、数阵、图形等知识相结合进行考查，同时也是新课改考查的热点之一. 二、教学目标和目标解析

1．知识与技能：理解归纳推理的原理，能运用归纳推理解决一些简单问题. 2．过程与方法：学生通过积极主动地参与课堂，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义，通过解决具体题型，感受归纳推理探索的提供解决问题的思路和方法．

3．情感、态度与价值观：通过数学史的了解与学习，激发学生学习数学的热情和兴趣，在参与探究活动中，培养学生的合作精神. 在观察发现中树立探索精神，在探索成功后体验学习乐趣．

三、教学重点、难点

重点：了解归纳推理的含义与特点，能利用归纳推理进行简单的推理；

难点：归纳推理的应用，解决归纳推理在其它知识点的应用．

四、教学问题诊断分析

1 .教材中归纳推理的应用给出了两类题型，一个是在数式中的应用，一个是在数列中的应用，两种题型很典型，但对数列的问题上没有强调最后的问题如果是归纳、猜测通项公式可通过先求数列的前几项，然后观察规律猜测获得，但求通项公式却不能用此法，不少学生却常在求解通项公式时运用归纳法，且没有证明，这需要在教学过程中重点强调。

2. 归纳推理与很多知识点相结合考查学生，在与图形相结合的问题上，学生普遍感觉困难，尤其对我校这样的学生，学生的观察能力较弱，因此，常发现不了图形演变的规律，或者图形相应数字变化的过程形成的规律，因此，在这一问题上，应让学生多总结解决问题的方法，培养其观察、思考、发现、解决问题的能力。

五、教法学法分析

1．教法：根据本节课的内容、教学目标和学生的实际水平等因素，在教法上，本节课我采用数形结合的数学思想方法，精心创设问题情景，以导为主，重视多媒体的作用，充分调动学生，展示学生的思维过程，使学生能准确理解、判断和运用所学知识，

立足基础知识和基本技能，掌握好典型例题，做到重点突出；紧扣数学的实际背景，多采用学生日常生活中熟悉的例子来突破难点. 2．学法：引导学生用观察、思考、归纳、推导方式来实现预定教学目标。创设、再现知识发生的情境，让每个学生都能主动参与课堂。从而在知识产生迁移中发现规律，进一步把知识纳入学生已有认知结构中，形成新的认知结构。达到教育学“最近发展区”要求，并培养学生学会观察、分析、归纳、等适应客观世界的思维方法，养成良好学习习惯. 六、教学过程设计

一.新学知识准备：

1.阅读印发的数学史资料——《世界近代三大数学难题（猜想）》

2.哥德巴赫提出猜想的过程：

设计意图：学生在课外阅读数学史资料，引起学生的学习兴趣，对本节内容有一定的期待．

师生活动：教师一边提问，一边利用多媒体与学生共同观察哥德巴赫猜想的提出过程．

二.新学内容：

1.概念：

简言之，归纳推理是由___________到_________、由_________到__________的推理。

练习1：下列关于归纳推理的说法错误的是(

) A．归纳推理是一种从一般到一般的推理过程

B．归纳推理是一种从特殊到一般的推理过程

C．归纳推理得出的结论不一定正确

D．归纳推理具有由具体到抽象的认知功能

设计意图：由哥德巴赫猜想的提出过程归纳出归纳推理的概念，用问题引起学生思考，且以选择题形式巩固新概念．

师生活动：教师提出疑问，把学生的思维调动起来，为后续学习营造氛围．

2.典型例题：

题型一.归纳推理在数式中的应用

例1.观察下列各式1＝12, 1＋3=4＝22 ,1+ 3＋5=9＝32 , 1＋3+5＋7=16＝42，1＋3+5＋7+9=25＝52

能得出怎样的结论？

练习2.(2012·汕头模拟)观察下列各式：1＝12,

2＋3＋4＝32 ,

3＋4＋5＋6＋7＝52 ,

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…

可以得出的一般结论是(

)．

A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2

B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2

C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2

D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2

练习3.(2012·陕西高考)观察下列不等式：

131＋22<2，

1151＋22＋2<3，

311171＋22＋32＋42<4，

………

照此规律，第五个不等式为________．

．．．设计意图：在例题讲解后设置相应的练习题，让学生学会观察数式的特征，从而归纳获得结论，培养学生的观察、思考、归纳能力. 师生活动：提问学生怎样获得答案，同时提出疑问，练习2中，答案为什么选B，不选D，两者的区别是什么？怎样判断？提醒学生要检验结果.

题型二.归纳推理在数列中的应用

例2.在数列{an}中的第1项a1＝1，且an＋1＝的通项公式．

an，（n=1，2，3，……），试归纳出这个数列1an2an，n∈N*，猜想这个数列的通项公式．

2＋an2an变式：在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N*，求这个数列的通项公式．

2＋an

小结：注意区分题干中要求的是“猜想或归纳通项公式”还是“求通项公式”，若是前者，则只需计算出前4项或5项，然后猜想结果；若是后者，则必须用上以前所学的“累加法”、“累乘法”等等求通项公式的方法。

设计意图：归纳推理在数列中的应用是一种常见题型，练习4与变式的设置目的是让学生区分“猜想”与“求”的含义，学生经历归纳推理获得数列通项公式的同时了解归纳推理的结果是一种猜测的结论，“求”的过程实际上是一种证明过程. 师生活动：提问学生“猜想”与“求”数列通项公式的区别，归纳数列的通项公式常列出几项？

题型三.归纳推理在图形中的应用

练习4.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝例3.有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(

)

A．26

B．31

C．32

D．36

练习5..把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．

试求第七个三角形数是________．

设计意图：归纳推理在图形中的应用是一种常见题型，也是常考题型，这类题型有三种，本例题所选的题型解法较易观察出来，由于是第1课时，故只选择图形中的一种类型让学生体验. 师生活动：提问学生图形中变化规律是怎样的？每一个图形是在前一图形的基础上怎样变化得到？同时让学生用数字表示出过程，结果发现规律，从而解决问题，引导学生总结这一题型的解法。

题型四.归纳推理在数阵中的应用

例4.观察如图所示的“三角数阵”

1…………第1行

2

2…………第2行

3

4

3…………第3行

4

7

7

4…………第4行

5

11

14

11

5…………第5行

…………

记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细

观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：

(1)第6行的6个数依次为

；

(2)依次写出a2、a3、a4、a5；

*(3)归纳出an＋1与an的关系式．（课后完成）

设计意图：归纳推理在数阵中的应用也是一种常见题型，让学生经历观察、思考、发现规律的过程，从而培养学生的观察能力和对数字的变化规律的敏感度. 师生活动：提问学生每一行数字的变化规律是怎样的？从第三行开始的数字与上一行数字有什么

联系？引导学生发现规律，从而解决问题，最后引导学生总结这一题型的解法。

题型五.归纳推理在几何中的应用

例5.设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数．

(1)求f(4)；(2)当n＞4时，求f(n)(用n表示)．

设计意图：归纳推理在几何中的应用也是一种常见题型，让学生学会审题，培养学生数形结合的能力. 师生活动：提问学生题干中的“任意三条直线不过同一点”是什么意思？能用图形解释吗？学生画好图后，引导学生发现每一条直线添加在前面图形后交点个数的变化规律，从而解决问题，最后引导学生总结这一题型的解法。

七、教学小结

1.什么是归纳推理？归纳推理的特点是什么？

2.归纳推理在图形中应用问题怎么解决？方法是什么？

八、反馈练习（课后）

1.数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于（

）

A

28

B

32

C

33

D

27

2.设f0(x)sinx,f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x),A.sinx

B.－sinx

'',fn1(x)fn'(x)，n∈N，则f2007(x)（）

D.－cosx

C.cosx

3.对于实数x,x表示不超过x的最大整数，观察下列等式：

1233

4567810

910111213141521

……

按照此规律第n个等式的等号右边的结果为______．

4.给出以下数阵，按各数排列规律，则n的值为（ ）

122

353416164565n655 A．66 B．256 C．257 D．326

5.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数是 ．

6.某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来与原线段两两夹角为120；……；依此规律得到n级分形图．

1的线段,且这两条线段3

（1）4级分形图中共有______条线段；

（2）n级分形图中所有线段长度之和为______．

17.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想SnSn的表达式．