6、立体图形的表面积和体积（1）国家优质课一等奖

立体图形表面积和体积的复习

淮安市实验小学六年级 祖成磊

【教学内容】苏教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级(下册)第105-107页。

【教学目标】

1.回顾梳理各立体图形特征及计算方法。

2.灵活运用立体图形的表面积和体积公式解决实际问题。

3.学会对数学知识进行归类。

【教学重点】能正确计算立体图形的表面积和体积。

【教学难点】合理利用表面积和体积等公式之间的联系，解决一些实际问题。

【教学准备】7快小黑板，实物模型。

【教学过程】

师：同学们，我们认识了长方体、正方体、圆柱和圆锥的特征，理解了它们的表面积和体积。那么，这节课我们将会对这些知识进行应用。本节课，我们预设了三个学习目标：

1.回顾梳理各立体图形特征及计算方法；

2.灵活运用立体图形的表面积和体积公式解决实际问题；

3.学会对数学知识进行归类。

下面进入学习环节，希望通过这节课的学习，能实现这三个目标。

师：请大家先回忆一下四种立体图形，你能把他们整理在一起呈现出来吗？动手试一试。

学生进行整理活动。

师：我看了一下，各人整理的都不错。谁愿意与大家分享自己的学习成果？

（学生在展台上汇报自己整理的表格或图形，讲出自己的思路）

师：他们总结各有特点，很好。那么，我们在计算立体图形表面积的时候，你要提醒大家注意些什么？

生1：我觉得有表面积的计算方法，还有的不是完整的表面积，比如无盖的鱼缸、无盖的铁皮水桶等。

生2：我赞同他的观点。对于做无盖水桶等问题，我觉得还要注意最后的结果保留的问题。还有就是商标纸问题，只要算侧面积就可以了。

师：他们说的非常好。那么体积该注意哪些方面呢？

生3：体积也要注意计算公式，像圆锥的体积要乘三分之一。

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生4：要注意等积变换的问题。

师：大家强调的真好。那我们就来分组探讨这些问题，有信心吗？

全体学生：有！

师：好，请几位组长上来，我们分配一下任务。

（老师分给每个小组一块小黑板，让每个小组独立设计一道题目。小组成员分配任务，以合作的形式介绍这道题目、题中的注意点、解题的过程，把重点写在小黑板上呈现出来。）

师：下面请各组在组长的带领下有序进行活动。（老师对学生自主活动提一些要求。）

（在此期间，各小组成员进行充分交流讨论。此时的设计以及后面题目的讲解都是学生完全自主的进行活动，充分体现学生在课堂的主体地位，学生的能动性及合作意识得到加强。）

师：刚才活动，请组长记住给组员加分。下面将进入最关键的环节——展示环节。有请第一小组。（展示前老师也要对汇报学生、全班同学提一些要求。）

第一小组活动：

生1：我家有一个鱼缸，所以我们从它开始。（出示题目）

做一个长1米、宽60厘米、高50厘米的长方体玻璃鱼缸，至少要用玻璃多少平方米？如果每平方米玻璃要100元，做这个鱼缸要多少元？

生2：大家请看这个鱼缸模型（举起模型），它长1米、宽60厘米、高50厘米。所以要注意：a.单位不统一，要进行单位换算。b.鱼缸是无盖的，只要计算5个面的面积。

生3：通过刚才介绍，我们已经知道了这个玻璃鱼缸长宽高各是多少，并且要换算单位。还知道要计算5个面的面积，也就是计算前、后、左、右、下面的面积和（出示计算方法）。

生4：前面和后面是一样的，左面也等于右面。

生5：可以用总面积减去上面的面积（出示计算方法）。

生6：还可以用侧面积加上下面的面积（出示计算方法）。

生7：最后要求做这个鱼缸需要多少钱，就用求出的面积乘一百。

师：第一小组讲解的很好，不仅把自己组的设计方案说出来，还说出了关键点和解题思路。大家还有补充的吗？没有的话，有请第二小组。

第二小组活动：

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生1：我为大家展示一个杯子（出示模型）。

杯子的底面半径是4厘米，高12厘米。那它的占地面积是多少呢？

生2：这个容易，它的占地面积就是底面积，只要计算底面积就可以了，高12厘米这个条件是用不到的。

即 4×4×3.14=50.24（平方厘米）

生3：这道题还可以拓展一下：

有一个圆柱形杯子，它的底面半径是4厘米，高12厘米。在杯子中盛10高的水，水与杯子接触面的面积是多少呢？

生4：我们首先要搞明白水与杯子接触面是哪个地方，然后再计算接触面面积。

生5：可以理解为水面高度以下这一圈的侧面积与底面积的和。

接触面面积=侧面积+底面积

=2×3.14×4×10+4×4×3.14 =80×3.14+16×3.14 =96×3.14 =301.44（平方厘米）

生6：还可以用 S=C×( h + r÷2) 这个公式。

生7：请问大家还有什么补充问题吗？

第三小组活动：

生1：杯子小了点，我们来看大些的：

做一个底面直径是4分米，高7分米的圆柱形无盖铁皮水桶，大约需要多少平方分米铁皮？（得数保留整数）

请问该怎么解答呢？

生2：题目要我们计算这个水桶的表面积，但它是无盖的，就少一个上面。

由题目知道半径=4÷2=2（分米）

所以 表面积=侧面积+底面积

=4×3.14×7+2×2×3.14 =32×3.14 =100.48（平方分米）

生3：重点强调，要注意结果，要保留整数。所以，最后要约等于101平方厘米。因为它是做水桶的，材料只能多，不能少。

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生4：由我来作个总结吧。有3点要注意：

a.水桶是无盖的，是侧面积与底面积之和。

b.计算时，要把直径转换为半径。

c.注意计算结果，保留整数。

请问还有什么要补充的？

师：对于用料的问题，通常都采取进一法。这道题给的是直径，如果给半径，怎么计算侧面积？给周长呢？

师：我们还要注意，如果水桶是有盖子的，要怎么办？如果要做一对无盖的水桶呢？

（大家一起思考后，回答）

师总结：省清题目再答题。

第四小组活动：

生1：我们小组来展示表面积的另一种问题（出示实物图，题目）：

一个圆柱形食品盒，它的半径是2厘米，高5厘米。如果在这个食品盒的周围贴上一层商标纸，那么商标纸有多少平方厘米？

生2：求商标纸的面积，就是求盒子的侧面积。（出示计算过程）

生3：他说的正确。但是在现实生活中，商标纸都有1-2厘米宽的接缝的。我们该怎么办呢？

（大家思考后，出示解决的方法）

师：通过这四道题，大家想一想，这些都属于哪一类型的问题？

生一起回答：和表面积有关的。

师：那我们该怎么处理这类问题呢？

生一起总结回答：第一步，看清单位。第二步，看求哪几个面。

师：彼此再交流一下这些内容，互相说一说。

第五小组活动：

生1：通过前面四道题，大家对表面积都有深入的认识了，现在和我们一起探讨等积变换吧！

我叔叔是一名工程师，他在建筑时，想把一个底面积是20平方米、高是3米的圆锥形沙堆摊开，铺在长10米、宽4米的沙坑中，请问沙子深多少厘米？

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h=3米

S=20

平方米

生3：单位不同。

→ 高度有多少米？

生4：沙子在变化过程中体积不变。

生5：所以，我们可以先计算圆锥形沙堆的体积，再除以长方体底面积。

过程为： 20×3÷3÷10÷4=0.5（米）=50（厘米）

生6：这题用方程做更容易理解。（出示计算过程）

师：对，用沙子铺路，沙子在变化过程中体积不变。再为大家拓展一下，如果题目中出现“锻造”、“熔铸”之类的词语时，一般都是体积不变的。

在这里，我设计了一个游戏：

我将右边胳膊做成三角形。问学生：这是一个什么形？学生可能笑着回答：三角形。我接着换个方向，问学生：现在是什么形状？学生还会回答:三角形。我接着把胳膊平放在桌面上，问学生：是什么形状？学生此时已经意识道了什么。我做总结：平面图形里的三角形并不因为摆放位置变化而变化，同样，体积也不因为形状的变化而变化。

第六小组活动：

生1：我们组把等积变换拓展一下，如下图：

生2把图形转换为文字形式叙述。

生3：这道题目还是抓住体积不变，但是不变的是水的体积而不是圆柱的。

第七小组活动：

生1：大家再来看看这样的等积变换：把橡皮泥做的圆柱再捏成圆锥。

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生2：因为是橡皮泥捏的，所以还是体积不变。

生3：h=V×3÷S 生4：这里还是用方程做看的清楚。

师：刚才七个小组展示的都非常精彩！课前，老师准备了几样奖品，想发给认真思考的同学，但是大家都非常的用心，老师该怎么办呢？

（有学生提议，让老师再提问几个本节课的知识点，大家来回答）

师：好，那老师这有两盒牛奶，把两盒牛奶拼在一起，有几种拼法？哪种最省包装材料？

学生可能有好几种方法，进过讨论，将方法优化。明确只要看减少的面积多少就可以了。减少的面积越多，表面积越小，所以最省材料。

师趁机提出：把四盒牛奶拼在一起，哪种最省包装材料？

学生探究、验证后仍然会得出：减少的面积越多，越省材料。

师总结：大家的表现都很精彩，大家都有奖品。你们让老师看到了思维的碰撞和智慧的火花，让我们把掌声带给自己。

请组长课后把《开心判判判》和《快乐ABC》收齐交给老师。

总结：汇报学习收获。

【板书设计】

立体图形表面积和体积的复习

结果的保留

1.求表面积的问题 求哪几个面

算术

2.等积变换：体积相等

方程

体积不变

3.综合应用（拼接问题）

表面积→变化的面

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【附录】

《开心判判判》

1.长方体和正方体都有六个面，而且六个面都相等… （ ）

2.圆锥体的高有一条；圆柱体的高有两条。… …

…

（ ）

3.圆柱的侧面展开后是一个正方形，那么它的底面周长和高一定相等。… … … … … …

…

… … … …（ ）

4.正方体的棱长总和是48厘米，它的每条棱长是8厘米（ ）

5.圆柱体的体积等于圆锥体的3倍。

…

…

…

… …（ ）

6.一个正方体的棱长是6厘米，它的表面积和体积相等（ ）

7.容器的容积与容器的体积大小不一样

。…

…

… （ ）

《快乐ABC》

A 表面积 B 侧面积 C 底面积

1.做一个圆柱形铁皮罐头盒，求需要多少铁皮，是求它的（ ），罐头盒周围贴商标纸，

求商标纸的面积是求它的（ ）

。

2.做一只圆柱形通风管要用多少铁皮，是求它的（ ）。 3.下雨时,给打谷场上的圆锥形谷堆盖上塑料防雨布,所需防雨布的最小面积是指圆锥的( )。

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