2.1.2 演绎推理国家获奖教案

§2.1 合情推理与演绎逻辑（二）

石家庄元氏县第一中学 马聪霞

类比是重要的推理方法，在掌握一定的数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方法。

【教学目标】：

1、知识与技能：

（1）结合数学实例，了解类比推理的含义

（2）能利用类比方法进行简单的推理，

2、过程与方法：

通过课例，加深对类比这种思想方法的认识。

3、情感态度与价值观：

体验并认识类比推理在数学发现中的作用。

【教学重点】：

（1）体会并实践类比推理的探索过程

（2）类比推理的局限

【教学难点】：

引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论

【教学过程设计】：

教学环教学活动

设计意图

节

一、问1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯

题情2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇

引入课题

景

3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征;

1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 通过阅读

2)有大气层,在一年中也有季节变更; 教材体会学生3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 类比推理阅读

科学家猜想;火星上也可能有生命存在. 的思维过

4．利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理. 程

二、由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，类比推概念推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊理――联教学

到特殊的推理. 想――普

类比练习：

遍联系

(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？

(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？

由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材73探究

填表）

小结：平面→空间，圆→球，线→面. 讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.

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三、例题讲解

例2：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）

类比角度

实数的加法

实数的乘法

若a,bR,则abR

若a,bR,则abR

运算结果

abbaabba

运算律

(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)逆运算

单位元

加法的逆运算是减法，使得方程ax0有唯一解xa

a0a

乘法的逆运算是除法，使得方程ax1有1唯一解x

aa11

例3、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想. 思维：直角三角形中，C900，3条边的长度a,b,c，2条直角边a,b和1条斜边c；

→3个面两两垂直的四面体中，PDFPDEEDF900，4个面的面积S1,S2,S3和S

3个“直角面”S1,S2,S3和1个“斜面”S. →

拓展：三角形到四面体的类比.

例4、（可作为研究性学习材料）

2222例:(2001年上海)已知两个圆①x+y=1:与②x+(y-3)=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例。

解析：类比猜想 1)圆心 2）半径 推广的命题为：

222222设圆的方程为 (x-a)+(y-b)=r① 与 (x-c)+(y-d)=r②（a≠c或b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程。

类比推理的几个特点

1）类比是从已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. 3）类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.

练习P93 1，2.3，4.5 ; P94 1

分析探索过程

四、课堂训练

五、小结

1）联想

2）探索性

3）不确定性

指出类比推理的结果不一定可靠

【练习与测试】：

（基础题）

1）已知扇形的弧长为l,半径为r，类比三角形的面积公式S＝1ah，可知扇形的面积公式为2_________ 2)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻

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两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等

A．①；B．①②； C．①②③； D．③ 3)由“

正三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是 (ab) 则对xR，函数f(x)=1x的解析式为__________。

(ab)15）三角形的面积公式为S＝ah（a,h分别表示三角形的边和该边上的高），类比四面体的体24）定义运算ab=积V＝

6）在三角形ABC中，C900,CDAB于D，则有ACADAB，类比此性质，给出空间四面体的一个猜想，并判断该猜想是否正确。

答案：

1）s=2ab1lr

21x2）C 3）正棱锥的侧棱长相等 (1x)

(1x)15）

四面体的体积V＝Sh（S,h分别表示四面体的底面积和该面上的高）

326）在棱锥S－ABC中，SC平面SAB,SO平面ABC于O，则SSAB＝SOABSCAB

4）f(x)=1x＝

（中等题）

1）a,b为实数，则由ab0a0或b0，类比向量运算中ab0可以得出什么结论？

2）若三角形的内切圆半径为r三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积s1r(abc)根据2类比思想，若四面体的内切球半径为r，四个面的面积分别为s1,s2,s3,s4，则此四面体的体积V＝_________ a2b23) 在ABC中，若ABAC,ACb,BCa，则ABC的外接圆半径r，将此2结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体SABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SAa,SBb,SCc，则四面体SABC的外接球半径R_______．

4)六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体. 如图1在平2222行四边形ABCD中，有AC+BD=2(AB+AD)，那么在图2所示的平2222行六面体ABCD—A1B1C1D1中，有AC1+BD1+CA1+DB1=（ ）.

222222A．2（AB+AD+AA1） B．3（AB+AD+AA1） 22222 C．4（AB+AD+AA1） D．4（AB+AD）

答案：

1）ab0

a0或b0或ab

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2）V＝r(S1S2S3S4)

13a2b2c23）

24）C

（难题）

1(a1a2an)，则数列bn也是等差数列。类比n上述性质，若数列cn是各项都为正数的等比数列，对于dn0，则dn= na1a2a3...an时，1）若数列an是等差数列，对于bn数列dn也是等比数列。

2）如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成角分别为、，则__________________________________________________________________ . D1C1cos2cos21,若把它推广到长方体ABCD—A1B1C1D1中，试写出相应命题形式： DCA1B1DCABA B

答案：

1）dn=na1a2a3...an

2）长方体ABCD—A1B1C1D1中，BD与同一顶点三个侧面所成角分别为、、，则222coscoscos2

教学反思：

数学课堂语言一定要保证逻辑严密，说话严谨。

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