信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响名师教学设计1

信息技术应用，对正态分布的影响教学设计

一、教学内容解析

本节内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-3第二章《随机变量及其分布》中2.4节《正态分布》的第二课时——信息技术应用，对正态分布的影响。该节内容是在学习了正态分布的概念，特点之后，利用几何画板、pad等信息技术研究参数，对正态曲线的影响。

二、教学重点与难点

重点：信息技术应用参数，对正态曲线位置和形状的影响；

难点：正态分布的3原则及其在实际生活中的简单应用。

三、教学目标

1、利用几何画板研究参数，对正态分布的影响，会根据正态分布的3原则进行简单的相关概率计算，并能解决一些简单的实际问题。

2、引导学生通过观察并探究规律，启发学生运用数形结合等思想方法分析问题、解决问题，培养学生的探究能力。

3、通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神。

四、教学策略分析

启发探索式教学法以及自主学习、小组合作，以“问题”

为核心，以“观察”为手段，以“探究”为途径，以“发现”为目的。

运用 Pad、网络、多媒体和相关软件及时反馈，几何画板辅助教学，改善学习方式、创新思维，有效提升学生自主学习能力：

1、为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，通过几何画板动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持。

2、在整节课的教学中采用师生互动、生生互动、小组合作学习的方式，这样可以有利于发挥各层次学生的作用，同时调动学生学习的积极性。

3、本节课的教学设计遵循了“观察—探究—再观察—再探究”的教学模式，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动。教师在整个教学过程中，不再完全是课堂的主导者，而是分别扮演了“教学实践活动的辅导者”、

“解决问题所需资

源的提供者”以“自主探究过程中的组织者”等多种角色。

五、教学过程设计

教

学

环

节

教学内容

1.正态曲线的构建过程

师生互动

教师提出问题，带领学生回顾学过的基础知识，为习题训练做准备。

学生回答问题，回顾相关知识，做好知识储备。

设计意图

引导学生主动回顾学过的知识，为教学活动做准备。

2.正态曲线的定义

（1）正态曲线的函数表达式

(x)2

知识回（2）标准正态曲线的函数表达式、

x21顾

f(x)e2(x(,))

212f(x)e2(x(,))2与分别反映的是均值与标准差。

3.正态曲线的性质

(1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相交；

(2) 曲线是单峰的，它关于直线

x=对称

(3) 曲线在x=处达到峰值1

2(4) 曲线与

x 轴之间的面积为1 4.正态分布的定义

一般地，如果对于任何实数a＜b，随机变量X满足

Pa＜Xbba,xdx，则称X的分布为正态分布，常记作N,2。如果随机变量X服从正态分布，则记作X~N,2。



教

学

环

节

教学内容

师生互动

教师通过pad展示各小组提交的研究性作业。请学生代表阐述研究成果

设计意图

《纲要》中提出，注重学思结合，提倡启发式、探究式、参与式教学，激发学生的好奇心，促进每个学生主动地、生动活泼地发展。让学生感受生活中的数学，小组互助学习共同体验成功是对这一理念的理解和尝试。

研究性作业：根据上学期期末考试1班和2班的数学成绩绘制正态曲线，分小组提交。

成果展示

教师在pad上发起做题，学1．设随机变量ξ服从正态分布N（3，生作答。

4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），1.学生分析易知：落在则a的值为（

）

,2a3和a2,内75A．

B．

C．5 D．3 概率相等知x2a3与33xa2关于x3对称，

练

2．已知随机变量X服从正态分布

通过练习题的设置以确保新内容的自然引入，同时加深了正态曲线关于直线x=对称和曲线与

x 轴之间的面积为1这两个性质的理解。

N2,2，且P0X20.3，则一

P（X＞4）=_____．

练

(2a3)(a2)3

27a

32.Px4Px011P0X22110.30.2

23．正态曲线对应的解析式中含有两个参学生研探新知，并进行推理数和。下面利用几何画板动态演示，论证。

其中教师对学生进行学法研

参数和对曲线的影响：

指导，优化学生思维。

探索一：

固定的值，观察对图像的

讨

影响

教师利用几何画板，固定参

数，改变，通过变化参数论

针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析，教师通过固定一个参数，讨论另一个参数对图像的影响，这样的处理大大降低了难度。

证

的值得到一系列正态曲线，学生观察图像，分组讨论并派代表发言。

学生通过观察得到：当一

该环节教师利用多媒体引导学生归纳正态小，曲线向左移；而函数图像的曲线的特点，既加强了形状不变。

学生的直观理解，也增强了学生观察归纳的能教师引导学生回忆这是图

力。

像平移的左加右减规律。

教师通过课件小结：当一

定时，曲线的位置由确定，曲

线随着的变化而沿x轴平移，

而函数的形状不变。

定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，因为曲线关于x=对称，增大，曲线向右移；减

教学环节

学

以

致

用

教学内容

师生互动

设计意图

教师提出问题：应用小结，通过研究性作业

比较作业A班和B班的成绩正的实例，学生体会到了态曲线图，可以得到什么结论？

数学在实际问题中的应用，培养学生应用所学学生观察得到：A班的数学知识解决问题的能力，平均分高于B班的数学平均分。

激发学习热情。

探索二：

固定的值，观察对图像的影响

教师利用几何画板，固定参数，改变，通过变化参数的值得到一系列正态曲线，学生观察图像，分组讨论。

学生代表一边演示几何画板一边回答讨论结果。当一定时，影响了曲线的形状。越该环节通过几何画板呈现了教学中难以呈现的课程内容，很好地锻炼了学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想。

这样的处理很好地研

探

论

证

1小，曲线的峰值越大，突出了重点，突破了难2

点。

曲线越高；越大，曲线的峰值

1越小，曲线越矮。曲线2与x轴之间的面积为1，曲线高

则瘦，矮则胖。

教师引导学生从表示标

准差的角度回答出表示的是标准差，越小，偏离均值的程度越小，则曲线越瘦高；越大，偏离均值的程度越大，则曲线越矮胖。

教师通过课件小结：当一定时，曲线的形状由确定

。越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

学

以

致

用

探索三：3原则

1、特殊区间的概率

P(aX≤a)a

a,(x)dx研

探

论

根据正态分布的定义，X落在区间证

的概率就是阴影部分的面积，引导学生

思考，固定和a，该面积会随着的变化发生什么变化？

教师提出问题：应用小结，通过研究性作业的比较作业A班和B班的成绩正实例，学生体会到了数态曲线图，还可以得到什么结学在实际问题中的应论？

用，培养学生应用所学知识解决问题的能力，学生观察得到：A班数学分激发学习热情。

的正态曲线比较瘦高，B班数学分的正态曲线比较矮胖。A班成绩比较集中，B班成绩比较分散。

取=0、a =0.25，教师利用学生发现了所学知几何画板演示，变化参数的值识无法解决的问题，从得到一系列正态曲线，学生观察而引起了他们的疑问，在a,a即

(-0.25,0.25]激发了他们要解决问题的图像变化，分组讨论。

的欲望，变“要我学”学生代表回答讨论结果：。

越小，X落在区间为“我要学”a,a的概率越大，X

集中在周围概率越大。越

大，X落在区间a,a

的概率越小，X集中在周围概

率越小。对于固定的和a，该

面积随着的减少而变大，随着

的增大而变小。

2、3原则

教师引导学生思考区间的面积与有关，分别取a =、2、3，面积会发生什么变化？

几何画板演示3原则：

新知识的直接给出，学生接受或多或少会有点困难。教师利用几何画板，从数与形上体现了3原则的内容，能很好加深学生的印象便于理解。这为后面3原则的应用作了铺垫。

教师利用几何画板动态演示，学生观察图像得到：随着的变化，区间会发生变化，正态曲线的形状会发生变化，但是区间的面积不会发生变化，是个定值。

P＜X0.6826

P2＜X20.9544

P3＜X30.9974

教师引入3原则的内容，并指出：在3,3区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验

中几乎不可能发生。

所以，在实际应用中，我们通常认为服从于正态分布的随机变量只取3,3之间的值，简称3原则。我们可以利用3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问

题。

3、k原则

教师引导学生思考，取a

=k，区间ka,ka的面积会发生什么变化？教师利用几何画板动态演示，学生观察图像得到：对于固定的k值，随着的变化，区间ka,ka会发生变化，正态曲线的形状会发生变化，但是区间的面积不会发生变化，是个定值。

教师引导学生得到求区间概率的方法：计算区间端点到对称轴的距离是的多少倍。

教学环节

及

时

反

馈

教学内容

例题1.某商场经营的某种包装的大米质量（单位：kg）服从正态分布N（10, 0.12

），任选一袋这种大米，(1) 质量在区间（9.8,10.2]，概率是多少？(2) 质量在区间（10,10.2]，概率是多少？(3) 质量在区间（9.9,10.2]，概率是多少？

师生互动

教师在pad上发起做题，学

生独立回答例题，选学生代表回答。

由10,0.1知：

P9.8X10.2

P2X2

设计意图

通过一个贴近生活的实例，学生体会到了数学在实际问题中的应用，培养学生应用所学知识解决问题的能力，激发学习热情。

本例三小问，做到了一题多用。分别要求学生根据3原则直接求出对称区间概率，或者利用对称性及结合概率为1，求不对称区间的概率。

体现了数形结合的思想，同时问题的设置由易到难，形成坡度。

0.9544

P9.8X10.2

1P9.8X10.2

20.4772

P9.9X10.2

PX2

110.68260.9544220.8185

例题2.某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正态分布N（70, 102

），如果规定低于60分为不及格，求：

（1）成绩不及格的人数占多少百分比？

（2）成绩在80~90内的学生占多少百分比？

教师提问：成绩在65~75内的学生占多少百分比？

教师在pad上发起做题，学生拍照上传答案。

引导学生思考需要求出区间0.5,0.5的面积。

教师利用几何画板，计算出区间0.5,0.5的面

积即概率等于0.38569.所以百分比为38.57% 独立思考，提出解题方法，使学生深化理解对称区间和不对称区间的概率。巩固所学知识，增强学生课堂落实效果。

教学环节

总结反思

布置作业

教学内容

1、

参数对正态曲线的影响

2、

参数对正态曲线的影响

3、

3原则

4、

从概率角度理解正态分布

师生互动

设计意图

教师引导学生回顾本节课归纳小结有助于学的数学活动，提炼本节学习的主生学习、记忆和应用。要知识，应用了哪些思想方法。

巩固新知，将知识形成

网络，提高学习效率。

学生通过作业进行反思，通过思考发散思维，发现创新。

教师通过布置作业，进行自我评价，更新教法。

通过布置作业，可以巩固学生本节课所学的知识并落实教学目标，教师还可以发现和弥补教学中的不足。

见课后作业

板书设计

信息技术应用，对正态分布的影响

1.

参数对正态曲线的影响

2.

参数对正态曲线的影响

3.

3原则

4.

从概率角度理解正态分布

六、教学反思

本节课在教学中我采取几何画板动态演示的直观教学法、学生分组讨论合作探究教学法。通过“观察—探究—再观察—再探究”等思维途径展示了一个完整的数学探究过程，符合新课标改革的理念。教学中，注重学生的亲身体验，通过几何画板的充分应用，为学生探究创设了很好的条件，通过合作探究、归纳总结轻松突破了本节课的重难点，让学生对很抽象的正态分布有了很深刻的认识，学生亲历探究得到知识的同时，体会研究问题的思想与方法。

附课后作业：

1.设随机变量X~N(0,1)，则P(x0)=_________. 2．已知X服从正态分布N（1,

2）（>0），若X在（0,1）内取值的概率为0.4，则在（0，2）内取值的概率为_________.

3.已知X~N (0,1)，则X在区间

(



,



2)

内取值的概率等于（

）. A.0.9544

B.0.0456

C.0.9772

D.0.0228

4. 若已知正态总体落在区间

(0.3,



)

的概率为0.5，则相应的正态曲线在x=_________时达到最高点.

5.

已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是

_________.

6. 已知



~

n

(0,



2

)

，且

P

(



2







，则

等于(

). 

0)0.4P

(





2)

A.0.1

B. 0.2

C. 0.3

D.0.4

7. 在某次数学考试中，考生的成绩



服从一个正态分布，即



~N(90,100). 

位于区间(70,110)上的概率是多少？

（1）试求考试成绩

（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？

8. 已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X~ (100,52) ，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（

）

A. (90,110]

B.

(95,125]

C. (100,120]

D.(105,115]

9. 若X~N(5,1)，求P(6