小结优秀公开课教案

a＋b§3.4

基本不等式：ab≤(二)

2

课时目标

1．熟练掌握基本不等式及变形的应用；

2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

1．设x，y为正实数

s2(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为. 4(2)若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p. 2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：

(1)x，y必须是正数；

(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．

(3)等号成立的条件是否满足．

利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．

一、选择题

11．函数y＝log2x＋x－1＋5

(x>1)的最小值为(

) 

A．－3

B．3

C．4

D．－4 答案

B 2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为(

) A．22

B．42

C．16

D．不存在

答案

B 解析

∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3. 33＋∴2x＋4y≥22x·4y＝22x2y＝42(x＝，y＝时取等号)．

242x－4x＋553．已知x≥，则f(x)＝有(

) 22x－455A．最大值

B．最小值

C．最大值1

D．最小值1 24答案

D x2－4x＋5x－22＋1解析

f(x)＝＝

2x－42x－211＝x－2＋x－2≥1. 21当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．

x－2x2＋54．函数y＝2的最小值为(

) x＋45A．2

B.

C．1

D．不存在

2

答案

B 解析

y＝x2＋5x2＋4＝x2＋4＋1

x2＋4∵x2＋4≥2，而11≤，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最x2＋421值，函数y＝x＋在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数．

x5∴当x2＋4＝2即x＝0时，ymin＝. 25．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(

) 911A．3

B．4

C.

D.

22答案

B x＋2y2解析

∵8－(x＋2y)＝2xy＝x·(2y)≤(). 2∴原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0. ∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4. 当x＝2，y＝1时取等号．

11x＋2＋y＋2的最小值是(

) 6．若xy是正数，则2y2x79A．3

B.

C．4

D.

22答案

C 11x＋2＋y＋2

解析

2y2x111xy2＋2＋＋

＝x2＋y2＋4xyyx11xyx2＋2＋y2＋2＋＋≥1＋1＋2＝4. ＝4x4yyx22当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．

22二、填空题

x＋5x＋27．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．

x＋1答案

9 解析

∵x>－1，∴x＋1>0，

设x＋1＝t>0，则x＝t－1，

t＋4t＋1t2＋5t＋44于是有y＝＝＝t＋＋5≥

ttt42t·＋5＝9，

t4当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1. t∴当x＝1时，

x＋5x＋2函数y＝取得最小值为9. x＋18．已知正数a，b满足a＋b－ab＋3＝0，则ab的最小值是________．

答案

9 解析

∵a＋b－ab＋3＝0，

∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3. 令ab＝t，则t2≥2t＋3.

解得t≥3(t≤－1舍)．即ab≥3. ∴ab≥9.当且仅当a＝b＝3时，取等号．

9．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．

答案

1 760 解析

设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一4边长为

m．那么

x42x＋2·x＋4

y＝120·4＋2·80·＝480＋320xx4≥480＋320·2x·＝1 760(元)．

x当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．

10．函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝012上，其中mn>0，则＋的最小值为________．

mn答案

8 解析

∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，

∴－2m－n＋1＝0，

即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0. 122m＋n4m＋2nn4mn4m∴＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2··＝8. mnmnmnmnn4m11当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．

mn4212故＋的最小值为8. mn三、解答题

1911．已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

xy19解

方法一

∵＋＝1，

xy1＋9＝10＋y＋9x. ∴x＋y＝(x＋y)·xyxyy9xy9x∵x>0，y>0，∴＋≥2 ·＝6. xyxyy9x当且仅当＝，即y＝3x时，取等号．

xy19又＋＝1，∴x＝4，y＝12. xy∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 19y方法二

由＋＝1，得x＝，

xyy－9∵x>0，y>0，∴y>9. y－9＋9y9x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1 y－9y－9y－99＝(y－9)＋＋10. y－9∵y>9，∴y－9>0，

99∴y－9＋＋10≥2 y－9·＋10＝16，

y－9y－99当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号．

y－9

19又＋＝1，则x＝4，

xy∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16. 12．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)? 解

设使用x年的年平均费用为y万元．

0.2x2＋0.2x10＋0.9x＋2由已知，得y＝，

x10x即y＝1＋＋(x∈N*)．

x1010x10x由基本不等式知y≥1＋2 ·＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使x10x10用10年报废最合算，年平均费用为3万元．

能力提升

13．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有(

) A．2∈M,0∈M

B．2∉M,0∉M

C．2∈M,0∉M

D．2∉M,0∈M

答案

A k4＋424解析

∵(1＋k)x≤k＋4，∴x≤. 1＋k2k4＋41＋k22－21＋k2＋55∵＝(1＋k2)＋－2≥25－2. 2＝21＋k1＋k1＋k2∴x≤25－2，M＝{x|x≤25－2}，∴2∈M,0∈M. 14．设正数x，y满足x＋y≤a·x＋y恒成立，则a的最小值是______．

答案

2 x＋yx＋y解析

∵≤

成立，

22∴x＋y≤2·x＋y，∴a≥2.

1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．

2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．

3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．