1.3 二项式定理（通用）ppt配套的教学设计方案

郫都二中集体备课案

时间：2018 年

6月

11日

主备人：田浩然

备课主题：二项式定理

教材分析：（比如该节备课内容在这个体系中的作用意义，重难点等）

1. 教学内容解析

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习后一章“随机变量及其分布”的基础。中学教材中的二项式定理主要包括：二项式定理的推导，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等。通过二项式定理的学习，要求学生掌握“猜想-归纳-论证”的数学思想，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能；进一步体会过程分析与特殊化方法等的运用；二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。本节课起到了承上启下的作用，是对之前所学计数原理的巩固，也是对之后随机变量及其分布（特别是超几何分布）作铺垫。而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，可以得到优美的

1lim(1)n=e≈2.718281……

nn2．教学策略分析

考虑到本节课要让学生在以下几个方面得到收获：一是掌握二项式定理的推导过程（生长性）；二是基础知识，准确理解数学概念（项、项的系数、二项式系数、通项公式等），并能灵活运用数学思想方法；三是“猜想—证明——归纳”的一般规律及方法。基于学生的认知基础和现阶段的数学思维水平，故本节课从学生已有的认知作为出发点，先让学生计算(ab)2?

(ab)3?

(ab)4?

……在繁琐的计算过程中激发学生去思考更有效的方法解决该问题。采用了数学探究式教学模式组织教学，在解决简单具体问题的基础上，抽象出解决一般问题的方法，让学生亲身经历“提出问题—解决问题—总结规律”，培养学生独立思考、自主探索、合作交流的学习意识和习惯。更是设置“问题串”，促进学生深层次思考。

知识目标：理解并掌握二项式定理，能利组合思想证明二项式定理。

能力目标：能利用通项公式求某一项的系数。

情感目标：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨。

重点：用计数原理分析(ab)、(ab)的展开式，推导二项式定理。

难点：利用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式形成单项式之和时各项系数的规律。

231

高考考纲分析：（比如一般情况怎么考察，什么题型考察，高考中考察难度等方面）

1.这是高考的重要知识考察点，常以选择题，填空题出现，难度中等。

2.二项式定理涉及多个知识点，包括某项的值、系数、系数和、项数等等，初学和复习都应多加训练。期间要特别注意指数运算。

学情分析：（学生的学习状况，如在所备章节有哪些是学生易错，有哪些是学生不好理解，还有哪些是必须学生掌握）

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一类特殊的多项式，表现为二项式的乘方的展开式，也是解决某些整除、近似计算等问题的重要方法之一。学生在初中是以多项式的乘法展开为载体，从具体式子感知多项式的展开。学生进入高中一年多的数学学习后，在数学符号化、公理化、抽象化等方面得到了有效的锻炼，逻辑推理能力、转化与化归等数学思想方法得到了训练，特别是，前一节学习了计数原理后，对该节课推导二项式定理奠定了基础。从学生现阶段的思维特点分析，大部分学生解决(ab)n展开式采用的是的不完全归纳法(猜想)，与初中学习的多项式的展开结合起来，从(ab)、(ab)2、(ab)3、(ab)4……的展开式的形式特点等方面进行类比，教师可以因势利导，让学生体会从一般到特殊的数学思想方法。然而，n无穷大时，能保证展开式恒成立吗？

典型例题与推荐练习：

教学过程

1.创设问题情境，因疑惑而激趣

教师：请同学们计算下面两个题：

(ab)2?

(ab)3?

【教师巡视2分钟，学生用初中多项式的乘法展开(ab)2a22abb2，(ab)3=(ab)(ab)2(ab)(a22abb2)……】

教师：有的同学计算得很快哦，要不再来计算一个：

(ab)4?

【观察学生反应：只有少部分学生用初中方法埋头苦干，大部分学生停下演算静静的思考……】

【说明：学生i(i1,2,3....)表示预设学生可能回答或提出的问题】

学生1：(ab)就是4个(ab)相乘，计算有点麻烦，要算到什么时候去哦！

学生2：我们应该寻求一个能代表这些式子的一个通式。

学生3：就像数列的通项公式吗？

……

2

4

教师：你能猜想(ab)2016的展开式是什么吗？

【设计意图：鼓励学生大胆猜想是教学生数学思考问题的开始，也许学生的猜想没有道理，甚至是错误的，但问题意识的种子却已在他们的头脑生根，慢慢发芽……】

教师：同学们，你们现在的困惑，就是牛顿当年的困惑……

那是1664年冬，22岁的牛顿在研读沃利斯博士的《无穷算术》时，引发了许多思考…(ab)2?

(ab)3?

(ab)4?都可以用初中多项式的乘法展开，如果你是牛顿，接下来会思考一个什么问题呢？

学生4：研究这三个式子展开式的规律，得到一般的规律。

学生5：一般情形下，当nN时，(ab)n等于多少？

……

教师：同学们很聪明啊，和伟大的牛顿当年想的一样啊。那么，研究规律的最终目的是想得到什么结论？今天，就让我们沿着大数学家牛顿的足迹，重温他探究、发现二项式定理的过程。

教师板书：二项式定理：(ab)n?

【设计意图】从学生的认知水平出发设置问题情境，在困惑中激发学生思考解决问题方法，让多数学生能动手动脑，不仅能激发学生学习数学的兴趣，更是调动学生学习新知识的积极性。数学不是冰冷的美丽，她是来自现实的火热思考。问题情境中渗透数学史，且紧扣本节课的主题与重点。

（点评：与数学史情境有机结合，把学生带入本课时学习主题。）

2.亲身体验，探索新知

教师：接下来我们来研究这个问题，应该从哪里入手呢？

学生6：从上面的特殊情况入手，研究、发现它们展开后的规律，再推广到这种一般情况。

学生7：好像每一项都有a,b，只是系数不同。

学生8：不对！有一项只有a，有一项只有b。

教师：“从特殊到一般”是研究问题的常用方法。同学们观察得很仔细啊！

（预设：学生应该能观察出展开式中项的规律，若观察不出来，教师适当点拨。）

教师：记得刚才有同学说，(ab)4就是四个(ab)相乘，刚才求得的展开式是这样的：(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)a44a3b6a2b24ab3b4。

请思考问题：①展开式中各种类型的项是如何得到的？

②展开式中各项的系数是如何确定的？

（点评：具有导向性的问题能指引学生明确研究方向，教师做到了适时点拨）

学生9：分步计数原理：第一步，第一次取有两种不同的方法；第二步，第二次取有两种不同4的方法，共四步，共有216项。

学生10：但是展开式只有5项……哦，合并同类项了！

【设计意图】考虑到所任教的学生是贵州省一类示范高中的实验班，基础较扎实，所以直接用课本30页的探究作为该节课探究载体。教师确定研究方向后让学生自主探究，留给学生足够的时间和空间。因为教师提出的两个问题具有明显的指向性，预设能够让学生回忆计数原理。若学生遇3

到困难，教师可以回到(ab)2展开式进行点拨。

【预设学生遇到困难，教师提示】

(ab)2(ab)(ab)是2个(ab)相乘，根据多项式乘法法则，每个(ab)再相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(ab)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项。于是，由分步乘法原理，再合并同类项之前，(ab)2的展开式有4项，而且每一项都是a2kbk(k0,1,2)的形式。

00每个都不取b的情况有1种，即C2,即a前的系数为C2；

11恰有1个取b的情况有2种，即C2，即ab前的系数为C2；

2恰有2个取b的情况有1种，即C2，即b前的系数为C2；

02122因此，(ab)2(ab)(ab)a22abb2C2aC2abC2b

222【设计意图】预设当学生思维遇阻时，降低难度，让学困生体会展开式的项及其各项系数的由来；引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(ab)n的展开式提供了方法，使学生在后续的探究“法”。

学生：……

教师：同学们分析得不错。其实，根据多项式乘法法则，(ab)4展开式的每一项都是从这四个括号中各任取一个字母相乘得到的。我们分析的结论是有五种不同类型的项，第一类：四个括号都取a相乘得到a4；第二类：三个括号都取a，一个括号取b得到a3b；第三类……，第四类……

教师：A同学，你具体分析a3b有哪几种情形可以得到？它的系数4又是如何确定的？

学生A：a3b是这四个括号中一个括号取b，另三个括号取a相乘得到的，共有四种取法，所以系数为4。

教师：A同学回答得很好，观察得很仔细，很好地回答了问题①②，请坐！

教师：接下来我们一起看其他情形。（教师多媒体动画演示）

【设计意图】由比课本例题稍微难一点的具体问题启发学生再思考，目的是让学生找到二项式展开式的各项及其各项的系数，对于学生的发现及时给予充分的表扬和鼓励。这个过程让学生亲身经历了从“繁杂计算之苦”到领悟“分步乘法原理与组合数的简洁美”，这也是一个内化的过程。

0n1n1rnrrnn【多媒体展示】(ab)nCnaCnabCnabCnb

（1）

共有n1项；

02kn1（2）

二项式系数：Cn、Cn、Cn、．．．、Cn、．．．、Cnrnrr通项：Tr1Cnab

；（3）

4

（4）

注意区分项，项的系数，二项式系数这三个概念。

01rn（5）将二项式定理左边a、b都赋值为1，得CnCnCnCn2n；

例1：求(2x

16)的展开式

x教学反思：

1.教学设计中，设置了“创设问题情境，因疑惑而激趣—亲身体验，探索新知—合作探究，总结规律—典型例题分析—强化训练，巩固提升”五个环节层层深入，环环相扣，充分体现师学、生生的交流互动，在教师主导下，学生通过动手、动眼、动脑，经历了知识的形成和发展过程。

2.以“问题”为红线，促进学生深层次参与课堂学习。本节课在精心设置问题驱动下，学生对知识和方法的探究由表及里，逐步深入。以“问题”为主线组织教学活动，引导学生提出问题并解决问题是教学成败的关键。教学实验表明，学生能否提出问题不仅受其数学基础、生活经历等的影响。本节课由简单的两个问题(ab)2?，(ab)3?开始，接着在(ab)4?，(ab)2016?，乃至(ab)n?的困惑下，激发学生去思考新的方法解决这个新问题。问题①展开式中各种类型的项是如何得到的？②展开式中各项的系数是如何确定的？引领学生直至解决问题的核心。在教学各个环节中以问题为主线，引导学生在不断的提出问题与解决问题过程中，领悟科学探索精神，适时的启发学生揭示问题的数学实质，从而促进学生深层次的参与课堂活动。

5