1.3 二项式定理（通用）教学设计一等奖

1．3

二项式定理

1．3.1

二项式定理

【教学目标】

（1）理解用组合的知识推导二项式定理；

（2）理解通项的意义并会灵活应用通项,能区分项的系数与二项式系数的不同；

（3）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. （4）充分体验归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

【教学重点】

二项式定理及通项公式的掌握及运用

【教学难点】

二项式定理及通项公式的掌握及运用,

一、复习引入：

02122 ⑴(ab)2a22abb2C2aC2abC2b；

⑵(ab)a3ab3abbC3aC3abC3abC3b

⑶(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4，

展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，a4的系数是0211；恰有1个取b的情况有C4种，a3b的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，a2b2C403322303122233的系数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，有4都取b的情况有C4种，ab3的系数是C4，4b4的系数是C4，

2334∴(ab)C4aC4abC4abC4abC4b．

二、讲解新课：

二项式定理：(ab)CnaCnabn0n1nrnrrCnabnnCnb(nN)⑴(ab)n的展404132223344开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 每个都不取b的情况有1种，即Cn种，an的系数是Cn；

恰有1个取b的情况有Cn种，anb的系数是Cn，……，

恰有r个取b的情况有Cn种，anrbr的系数是Cn，……，

有n都取b的情况有Cn种，bn的系数是Cn，

nnrr1100∴(ab)CnaCnabn0n1nrnrrCnabnnCnb(nN)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式，⑶它有n1项，各项的系数Cn(r0,1,⑷Cnarnrrn)叫二项式系数，

rnrrbr叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cnab．

rrCnx1(1x)n1Cnxa1,bx⑸二项式定理中，设，则xn

二项式定理的正用与逆用

(1)求(3x＋14)的展开式；

x(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

【解】

(1)法一：(3x＋＋C44·41411213413223)＝C0(3x)＋C(3x)·＋C(3x)·()＋C·3x·()4444xxxx1＝81x2＋108x＋54＋12＋12.

xxx4（3x＋1）1法二：(3x＋)4＝

x2x1＝2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)

x121＝81x2＋108x＋54＋＋2.

xx5142332450(2)原式＝C05(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)－1

＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.

运用二项式定理的解题策略

(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降

幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，

先化简再用二项式定理展开．

(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．

[注意]

逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式．

1.化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为(

) A．x4

C．(x＋1)4

B．(x－1)4

D．x4－1 41312解析：选A.(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C04(x＋1)＋C4(x＋1)(－1)＋C4(x＋3404441)2(－1)2＋C34(x＋1)(－1)＋C4(x＋1)(－1)＝[(x＋1)－1]＝x，故选A. 12．设n为自然数，化简C02n－Cn·2n1＋…＋(－1)k·Ck2nk＋…＋(－1)n·Cnn·n·n＝________．

－－0n1nk0解析：原式＝Cn·2n·(－1)0＋C1·(－1)1＋…＋(－1)k·Ck＋…＋(－1)n·Cnn2n2n·2＝(2－－－1)n＝1.

答案：1

求二项展开式中的特定项或其系数

2

已知(x－)n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：

x(1)n的值．

(2)展开式中含x3的项. 【解】

(1)因为T3＝C2n(x)n－22(－)2＝4C2nxxn－62，

2n－1T2＝C1(－)

n(x)xn－32＝－2C1nx，

1依题意得4C2n＋2Cn＝162，

1所以2C2n＋Cn＝81，

所以n2＝81，n＝9.

29－r(2)设第r＋1项含x3项，则Tr＋1＝Cr(－)r

9(x)x9－3r2＝(－2)rCr9x，

9－3r所以＝3，r＝1，所以第二项为含x3的项：

233T2＝－2C19x＝－18x.

1．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的常数项．

9－3r解：因为2Tr＋1＝(－2)rCr9x，若Tr＋1为常数项，则9－3r＝0，所以r＝3，因此常数项为第

4项(－2)3C39＝－672. 2．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的所有有理项．

9－3r解：因为2Tr＋1＝(－2)rCr9x，

9－3r为整数．

2若Tr＋1为有理项，当且仅当因为0≤r≤9，r∈N，所以r＝1，3，5，7，9，

4 0324 608即展开式中的有理项共5项，它们是T2＝－18x3，T4＝－672，T6＝－3，T8＝－6，xx512T10＝－9. x

(1)求二项展开式特定项的步骤

(2)正确区分二项式系数与该项的系数

二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关．

11＋2(1＋x)6展开式中x2的系数为(

)

1.(2017·高考全国卷乙)xA．15

C．30

B．20 D．35 1r6221＋2(1＋x)的展开式中x的系数为1×C6解析：选C.(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Crx，所以6x＋1×C46＝30，故选C. 12．二项式(2x－)6的展开式中的常数项为________．

2x16－r解析：Tr＋1＝Cr(－1)r()r

6(2x)2x6－r1r6－2r＝(－1)rCr()x，令6－2r＝0，得r＝3，

622所以T4＝(－1)3C36＝－20.

答案：－20